В июле 2026 года планируется взять кредит в банке некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;…
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 39 300 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Задача решается по шагам, учитывая условия: проценты 25% раз в начале каждого года (в январе), затем за каждый год один платеж в период с февраля по июнь, сумма платежа одинакова и всего их три.
- Обозначения
- Пусть L — сумма кредита, которую планируется взять в июле 2026 года.
- Пусть P — размер каждого из трех равных платежей (за три года).
- Обозначим a = 1.25.
- Модель движения долга Долг растет в январе следующего года в 1.25 раз, затем в течение года выплачивают один платеж P (после которого долг уменьшается). За три года после июля 2026 года произойдут три роста и три платежа, и долг станет нулём после третьего платежа.
Последовательность (упрощённо, без учёта месяцев внутри года, просто по годам):
- январь 2027: долг становится L · a
- февраль 2027: платёж P, долг после платежа: L · a − P
- январь 2028: долг перед платежом: (L · a − P) · a
- февраль 2028: платёж P, долг после платежа: (L · a − P) · a − P
- январь 2029: долг перед платежом: [(L · a − P) · a − P] · a
- февраль 2029: платёж P, после которого долг равен нулю.
Из этого следует уравнение 0 = [( ( (L · a − P) · a − P ) · a ) − P] = L · a^3 − P(a^2 + a + 1).
Отсюда P = L · a^3 / (a^2 + a + 1).
- Вычисления с конкретными числами a = 1.25 = 5/4. a^2 = 25/16, a^3 = 125/64. a^2 + a + 1 = 25/16 + 5/4 + 1 = 61/16.
Тогда P = L · (125/64) / (61/16) = L · (125/64) · (16/61) = L · 125/244.
Согласно условию, общая сумма трёх платежей равна L + 39 300: 3P = L + 39 300. Подставим P: 3 · (125/244) L = L + 39 300.
Упростим уравнение: (375/244) L = L + 39 300 244L + 9 589 200 = 375L 131L = 9 589 200 L = 9 589 200 / 131 = 73 200.
Получаем P: P = (L + 39 300) / 3 = (73 200 + 39 300) / 3 = 112 500 / 3 = 37 500.
- Проверка
- июль 2026: долг = 73 200
- январь 2027: долг = 73 200 · 1.25 = 91 500
- февраль 2027: долг = 91 500 − 37 500 = 54 000
- январь 2028: долг = 54 000 · 1.25 = 67 500
- февраль 2028: долг = 67 500 − 37 500 = 30 000
- январь 2029: долг = 30 000 · 1.25 = 37 500
- февраль 2029: долг = 37 500 − 37 500 = 0
Все условия выполнены: три равных платежа по 37 500 руб., общий размер выплат 112 500 руб., что на 39 300 руб. больше взятой суммы.
Ответ: Сумма кредита составляет 73 200 рублей. Каждый год выплачивается по 37 500 рублей (в феврале каждого года), и кредит погашается через три года.
