Сторона описанного равностороннего треугольника на четыре больше стороны квадрата вписанного в ту же окружность найти сторону треугольника

Дано: в одной окружности вписана квадратная фигура и равносторонний треугольник. Сторона треугольника больше стороны квадрата на 4. Найти сторону треугольника.

Пусть окружность радиуса R. Тогда для каждой фигуры сторона выражается через R:

• Квадрат, вписанный в окружность: диагональ квадрата равна диаметру окружности 2R. Диагональ квадрата равна стороне s умножить на √2, значит s√2 = 2R, откуда s = R√2.

• Равносторонний треугольник, вписанный в окружность: радиус описанной окружности (циркумцентр) равен R = a/√3, следовательно сторона треугольника a = R√3.

Условие задачи: сторона треугольника на 4 больше стороны квадрата a = s + 4.

Подставим выражения для a и s через R: R√3 = R√2 + 4.

Решим относительно R: (√3 − √2)R = 4 ⇒ R = 4 / (√3 − √2). Рационализируем знаменатель: R = 4(√3 + √2) / (3 − 2) = 4(√3 + √2).

Теперь найдём стороны:

• сторона квадрата: s = R√2 = 4√2(√3 + √2) = 4(√6 + 2) = 8 + 4√6.
• сторона треугольника: a = R√3 = 4√3(√3 + √2) = 4(3 + √6) = 12 + 4√6.

Ответ: сторона равностороннего треугольника равна 12 + 4√6 (приближённо 21.80).
Сторона квадрата тогда равна a − 4 = 8 + 4√6 (приближённо 17.80).

Пояснение по альтернативе: если под “на четыре” имели в виду «на четыре раза больше», то соотношение было бы a = 4s и решение потребовало бы другой подход. Но в тексте задача задана как “на четыре больше”, поэтому решение выше корректно.