|x^2-9|+|x-2|=5
Задача: |x^2 - 9| + |x - 2| = 5
- Определим точки разрыва знаков внутри модулей: x^2 - 9 = 0 при x = -3 и x = 3; x - 2 = 0 при x = 2. Разобьём на участки:
- (-∞, -3], [-3, 2], [2, 3], [3, ∞)
- Разберём по участкам и избавимся от модулей.
Участок 1: x ≤ -3 • x^2 - 9 ≥ 0, значит |x^2 - 9| = x^2 - 9 • x ≤ -3 ⇒ x - 2 ≤ -5, значит |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 Сумма: (x^2 - 9) + (-x + 2) = x^2 - x - 7 Уравнение: x^2 - x - 7 = 5 → x^2 - x - 12 = 0 → (x - 4)(x + 3) = 0 Возможные решения: x = 4, x = -3. В этом участке допустим только x = -3.
Участок 2: -3 ≤ x ≤ 2 • |x^2 - 9| = 9 - x^2 (поскольку x^2 ≤ 9) • |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 Сумма: (9 - x^2) + (-x + 2) = 11 - x^2 - x Уравнение: 11 - x^2 - x = 5 → x^2 + x - 6 = 0 → (x + 3)(x - 2) = 0 Решения: x = -3, x = 2. Оба лежат в этом участке.
Участок 3: 2 ≤ x ≤ 3 • |x^2 - 9| = 9 - x^2 • |x - 2| = x - 2 Сумма: (9 - x^2) + (x - 2) = 7 - x^2 + x Уравнение: 7 - x^2 + x = 5 → -x^2 + x + 2 = 0 → x^2 - x - 2 = 0 → (x - 2)(x + 1) = 0 Решения: x = 2, x = -1. В этом участке допустим только x = 2.
Участок 4: x ≥ 3 • |x^2 - 9| = x^2 - 9 • |x - 2| = x - 2 Сумма: (x^2 - 9) + (x - 2) = x^2 + x - 11 Уравнение: x^2 + x - 11 = 5 → x^2 + x - 16 = 0 Корни: x = (-1 ± √65)/2. Из них подходящий только x ≥ 3: x = (-1 + √65)/2 ≈ 3.531.
- Соберём все уникальные решения: x ∈ { -3, 2, (-1 + √65)/2 }. Проверка:
- x = -3: |9 - 9| + |-5| = 0 + 5 = 5
- x = 2: |4 - 9| + |0| = 5 + 0 = 5
- x = (-1 + √65)/2: подставив точно удовлетворяет уравнению.
Ответ: x = -3, x = 2, x = (-1 + √65)/2. (Примерные значения: -3, 2, ≈ 3.531)
