Задача: (x − 4)(2x − 1) > 0
Цель: понять решение пошагово.
Шаг 1. Найдем нули множителей
- x − 4 = 0 → x = 4
- 2x − 1 = 0 → x = 1/2
Эти точки делят числовую ось на три интервала.
Шаг 2. Разобьем по интервалам
Интервалы: (-∞, 1/2), (1/2, 4), (4, ∞)
Шаг 3. Определим знак выражения на каждом интервале
Возьмем x = 0 (находится в (-∞, 1/2)):
(0 − 4)(2·0 − 1) = (−4)(−1) = 4 > 0
Значит на этом интервале выражение положительно.
Возьмем x = 1 (находится в (1/2, 4)):
(1 − 4)(2·1 − 1) = (−3)(1) = −3 < 0
Значит на этом интервале выражение отрицательное.
Возьмем x = 5 (находится в (4, ∞)):
(5 − 4)(2·5 − 1) = (1)(9) = 9 > 0
Значит на этом интервале выражение положительно.
Шаг 4. Запишем ответ
Так как неравенство строгое (> 0), нули исключаем.
Решение: (-∞, 1/2) ∪ (4, ∞)
Дополнительная проверка (опционально)
Раскроем скобки: (x − 4)(2x − 1) = 2x^2 − 9x + 4.
Корни квадратного многочлена: x = (9 ± √(81 − 32)) / 4 = (9 ± 7)/4 → x = 1/2 и x = 4.
Так как коэффициент при x^2 положительный (2 > 0), парабола открывается вверх, и выражение положительно вне интервала [1/2, 4], то есть точно по нашему решению.
Ответ: (-∞, 1/2) ∪ (4, ∞).
