Задача Задача №3390834
А
А
сравни √5-√2 и 2-√3
Ответ: sqrt(5) - sqrt(2) больше, чем 2 - sqrt(3).
Пошаговое решение и объяснение
- Обозначим
- A = sqrt(5) - sqrt(2)
- B = 2 - sqrt(3)
- Убедимся, что A и B неотрицательны.
- sqrt(5) ≈ 2.236 и sqrt(2) ≈ 1.414, поэтому A ≈ 0.822 > 0.
- sqrt(3) ≈ 1.732, поэтому B ≈ 2 - 1.732 = 0.268 > 0. Оба числа неотрицательны, значит можно сравнивать квадратами: A > B ⇔ A^2 > B^2.
- Возведём в квадрат каждое выражение.
- A^2 = (sqrt(5) - sqrt(2))^2 = 5 + 2 - 2 sqrt(10) = 7 - 2 sqrt(10).
- B^2 = (2 - sqrt(3))^2 = 4 + 3 - 4 sqrt(3) = 7 - 4 sqrt(3).
Сравним A^2 и B^2. A^2 - B^2 = (7 - 2 sqrt(10)) - (7 - 4 sqrt(3)) = -2 sqrt(10) + 4 sqrt(3) = 2(2 sqrt(3) - sqrt(10)).
Укажем знак разности без приближённых чисел.
- Чтобы понять знак 2 sqrt(3) - sqrt(10), заметим, что оба числа положительные.
- Сравним их квадраты: (2 sqrt(3))^2 = 12, (sqrt(10))^2 = 10. Так как 12 > 10, то 2 sqrt(3) > sqrt(10), значит 2 sqrt(3) - sqrt(10) > 0.
Следовательно, A^2 - B^2 > 0, значит A^2 > B^2, и так как A ≥ 0 и B ≥ 0, следует A > B.
- Дополнительная интуитивная проверка (опционально).
- A ≈ 0.822, B ≈ 0.268, поэтому явное сравнение даёт A > B.
Итого: sqrt(5) - sqrt(2) больше, чем 2 - sqrt(3).
