У=х/(5-х)(2х+13)

Задача: y = x / [(5 − x)(2x + 13)] Цель: понять разложение на простые дроби и базовые свойства функции. 1) Уточним выражение и область определения - Запишем так, как есть: y = x / [(5 − x)(2x + 13)] - Область определения: знаменатель не должен равняться нулю, поэтому x ≠ 5 и x ≠ −13/2. 2) Упростим знак - Можно вынести минус: (5 − x) = −(x − 5). - Тогда y = − x / [(x − 5)(2x + 13)]. 3) Частичное разложение - Пусть: − x / [(x − 5)(2x + 13)] = A/(x − 5) + B/(2x + 13). - Умножим обе стороны на знаменатель: − x = A(2x + 13) + B(x − 5). - Раскроем скобки: − x = (2A + B) x + (13A − 5B). - Сопоставим коэффициенты: - При x: 2A + B = −1 - Постоянный член: 13A − 5B = 0 4) Решим систему - Из второго: 13A = 5B → A = (5/13) B. - Подставим в первый: 2(5/13)B + B = −1 → (10/13 + 1)B = −1 → (23/13) B = −1 → B = −13/23. - Тогда A = (5/13)·(−13/23) = −5/23. 5) Итог разложения - y = A/(x − 5) + B/(2x + 13) = (−5/23)/(x − 5) + (−13/23)/(2x + 13). - Можно компактно записать так: y = −(1/23) [ 5/(x − 5) + 13/(2x + 13) ]. 6) Проверка (по желанию) - Сведём обратно к одному знаменателю: общий знаменатель 23(x − 5)(2x + 13). - Получится числитель −23x, что равняется исходному −x при учёте множителя 23, то есть разложение верно. 7) Что важно для понимания - Домены: x ≠ 5, x ≠ −13/2. - Вероятные асимптоты: вертикальные в x = 5 и x = −13/2; горизонтальная асимптота y = 0 (поскольку степень знаменателя больше степени числителя). - Значение в нуле: y(0) = 0/(5·13) = 0. 8) Пример вычисления - Пусть x = 6: y = 6 / [(5 − 6)(12 + 13)] = 6 / [(-1)·25] = −6/25. - Можно также через разложение: y = −(5/23)/(6 − 5) − (13/23)/(2·6 + 13) = −(5/23)/1 − (13/23)/25 = −5/23 − 13/(575) ≈ −0.217−0.0226 ≈ −0.2396, что близко к −6/25 = −0.24 (проверка корректности). Итог - Основное решение: y = x / [(5 − x)(2x + 13)] равняется y = −5/[23(x − 5)] − 13/[23(2x + 13)] или эквивалентно y = −(1/23) [ 5/(x − 5) + 13/(2x + 13) ]. - Область определения: x ≠ 5, x ≠ −13/2.