Как десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь

Ниже понятное пошаговое руководство, как перевести десятичную дробь в обычную (дробь).

1. Терминальная (неповторяющаяся) десятичная дробь

• Пример: 0.75
  • Записываем как целое число, взяв все цифры после запятой: 75.
  • Делим на 10 в нужной степени: 75/100.
  • Сокращаем дробь: gcd(75,100)=25 → 75/100 = 3/4.
• Алгоритм:
  • Определите n — количество цифр после запятой.
  • Дробь = (число без запятой) / 10^n.
  • Найдите НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя и сократите.

2. Пример с разложением на простые:

• 0.625 → 625/1000. gcd(625,1000)=125 → 5/8.

3. Ноль после запятой и ведущие нули

• Пример: 0.05 → 5/100 → gcd(5,100)=5 → 1/20.

4. Повторяющаяся десятичная дробь Если после запятой есть периодическая часть (повторение).

4a) Простая повторяющаяся дробь (без не повторяющейся части)

• Пример: 0.\overline{3} = 0.3333...
• Формула: если x = 0.\overline{a} и длина блока повторения k, то x = a / (10^k - 1).
• Пример: 0.\overline{3} → 3 / (10^1 - 1) = 3/9 = 1/3.
• Пример: 0.\overline{12} → 12 / (10^2 - 1) = 12/99 = 4/33.

4b) Дробь с ненапрактикованной частью и повторяющейся частью

• Пусть x = 0.A \overline{B}, где A — не повторяющаяся часть (длина r цифр), B — повторяющаяся часть (длина k цифр).
• Обозначим:
  • A как целое число из цифр A (если A пусто, взять 0),
  • B как целое число из цифр B.
• Тогда x = (A*(10^k - 1) + B) / (10^r*(10^k - 1)).
• Пример: x = 0.12\overline{34}
  • A = 12 (r = 2), B = 34 (k = 2).
  • x = (12*(99) + 34) / (10^2 * 99) = (1188 + 34) / 9900 = 1222/9900.
  • Упростим: gcd(1222, 9900) = 2 → 611/4950.

5. Общий алгоритм для любой десятичной дроби

• Если дробь terminating (оканчивается цифрами): используйте раздел 1.
• Если дробь repeating:
  • Определите r — количество цифр до начала повторения, и k — длину периода.
  • Найдите A (число из не повторяющихся цифр) и B (число из повторяющегося блока).
  • Примените формулу x = (A*(10^k - 1) + B) / (10^r*(10^k - 1)).
  • Упростите дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД.

6. Быстрое резюме

• Терминальная десятичная: просто N / 10^n, затем сократить.
• Повторяющаяся десятичная: используйте формулы выше или метод «уравнение»:
  • Пример для чистой повторяющейся: x = blok / (10^k - 1).
  • Пример для смешанной: x = (A*(10^k - 1) + B) / (10^r*(10^k - 1)).

7. Дополнительные примеры

• 0.8 → 8/10 = 4/5.
• 0.125 → 125/1000 = 1/8.
• 0.\overline{6} → 6/9 = 2/3.
• 0.1\overline{6} (A=1, r=1, B=66, k=2): x = (199 + 66) / (1099) = 165 / 990 = 1/6.
• Отрицательная дробь: -0.75 → -(3/4) = -3/4.

Если хочешь, могу разобрать конкретную дробь из твоего задания (например, число из картинки): скажи, какое именно число следует перевести, и я проставлю шаги и итоговую дробь.