построить график y=|√x-1|

Задача: построить график функции y = |√x − 1|

Подход для 10 класса (пошагово и понятно)

1. Область определения

• Корень под радикалом требует x ≥ 0.
• Следовательно, график существует только на полуоси x ≥ 0.

2. Разбор знака внутри модуля

• Внутри модуля у нас √x − 1.
• Это выражение неотрицательно тогда и только тогда, когда √x ≥ 1, т.е. x ≥ 1.
• Значит график разбивается на две части:
  • для 0 ≤ x < 1: √x − 1 < 0, поэтому |√x − 1| = 1 − √x
  • для x ≥ 1: √x − 1 ≥ 0, поэтому |√x − 1| = √x − 1

Итак, задаём функцию по частям:

• При 0 ≤ x < 1: y = 1 − √x
• При x ≥ 1: y = √x − 1

3. Пунктирные контрольные точки (для построения)

• x = 0: y = |√0 − 1| = |0 − 1| = 1
• x = 1: y = |√1 − 1| = |1 − 1| = 0
• x = 4: y = |√4 − 1| = |2 − 1| = 1
• x = 9: y = |√9 − 1| = |3 − 1| = 2

4. Геометрическая интерпретация

• Начинаем с графика y = √x (кривая, растущая полувыпуклая кривая, начинающаясь в точке (0,0)).
• Сдвигаем её вниз на 1: получается y = √x − 1.
  • Эта ветка пересекает ось y в точке (0, −1), но мы учитываем, что в нашей случайной модуль делает отрицательную часть положительной.
• Применяем модуль к всей функции вокруг точки x = 1:
  • Для x < 1 часть графика зеркально отражается вверх относительно оси y = 0, превращаясь в y = 1 − √x.
  • Для x ≥ 1 часть остаётся как y = √x − 1.
• В итоге график состоит из двух плавных ветвей, которые встречаются в точке (1, 0).

5. Свойства графика

• Область определения: x ≥ 0.
• Область значений: y ≥ 0 (вся графика лежит на или выше оси).
• Точка минимума: (1, 0) — единственная точка минимума, где обе ветви сходятся.
• Производная слева и справа:
  • слева (0 < x < 1): dy/dx = −1/(2√x) → на x→1− даёт −1/2
  • справа (x > 1): dy/dx = 1/(2√x) → на x→1+ даёт +1/2 Следовательно, график имеет «острый угол» (не дифференцируем в точке x = 1).

6. Быстрая схема черчения

• На оси x отметьте точки x = 0, 1, 4, 9 и соответствующие y = 1, 0, 1, 2.
• Нарисуйте левую ветку на отрезке [0, 1]: плавная дуга от (0,1) к (1,0) по формуле y = 1 − √x.
• Нарисуйте правую ветку на отрезке [1, ∞): плавная дуга от (1,0) вверх вправо по формуле y = √x − 1.
• Ветви соединяются в (1,0).

7. Краткое резюме

• Функция задаётся как y = |√x − 1|, доменная часть x ≥ 0.
• Это две ветви: y = 1 − √x для 0 ≤ x < 1 и y = √x − 1 для x ≥ 1.
• График имеет cusp (острый угол) в точке (1, 0) и не имеет вертикальных или горизонтальных асимптот.

Если нужно, могу предложить пошаговую раскраску по координатам на листе или создать минимальный чертёж ASCII-графика.