2. Найдите медиану прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, равной 14.
Ответ: 7
Пошаговое решение (для средней школы)
Обозначим треугольник ABC как прямоугольный в точке C. Пусть AB — гипотенуза, AC = a, BC = b, и AB = c = 14.
Медиана к гипотенузе — это отрезок CM, где M — середина гипотенузы AB.
Свойство в прямоугольном треугольнике: центр окружности описанной вокруг треугольника совпадает с серединой гипотенузы. Таким образом, расстояние от M до любой вершины равно радиусу окружности, который равен половине гипотенузы: MA = MB = MC = c/2.
Следовательно, длина медианы CM равна c/2 = 14/2 = 7.
Дополнительная проверка (координатный способ)
- Разместим треугольник так: C = (0,0), A = (a,0), B = (0,b). Тогда AB = sqrt(a^2 + b^2) = 14.
- Медиана к гипотенузе идёт от C к середине AB, то есть к M = ((a)/2, (b)/2).
- Расстояние CM = sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2) = sqrt((a^2 + b^2)/4) = sqrt(14^2/4) = 7.
Замечание на альтернативную интерпретацию: если бы условие означало, что длина медианы равна 14, то гипотенуза была бы 28. Но исходная формулировка предполагает, что гипотенуза равна 14.
