Две вершины параллелограмма и точка пересечения его диагоналей лежат в одной плоскости. Лежат ли в этой же плоскости и две другие вершины параллелограмма?

Да. Рассмотрим параллелограмм ABCD, пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. По условию A, B и O лежат в одной плоскости α. - Так как O лежит на диагонали AC, диагональ AC это прямая, проходящая через A и O. Следовательно прямая AC (а значит и вся её часть) лежит в плоскости α. Точка C принадлежит диагонали AC, поэтому C тоже лежит в α. - Аналогично диагональ BD проходит через B и O, значит она лежит в α, и точка D, находящаяся на BD, принадлежит α. Из этого следует, что все четыре вершины A, B, C, D параллелограмма лежат в одной и той же плоскости α. В частности, две оставшиеся вершины C и D лежат в той же плоскости.