{х²+ху+у²=13 х+у=4

Задача: найти пары (x, y) такие что

• x^2 + x y + y^2 = 13
• x + y = 4

Два варианта решения.

Вариант 1 (через суммы и произведение)

1. Обозначим s = x + y = 4, p = x y.
2. x^2 + y^2 = s^2 − 2p.
3. x^2 + xy + y^2 = (x^2 + y^2) + xy = (s^2 − 2p) + p = s^2 − p.
4. По условию: s^2 − p = 13. Значит p = s^2 − 13 = 16 − 13 = 3.
5. x и y — корни квадратного уравнения t^2 − s t + p = 0: t^2 − 4t + 3 = 0.
6. Решение: (t − 1)(t − 3) = 0, значит t = 1 или t = 3.
7. Следовательно пары: (x, y) = (1, 3) или (3, 1).

Вариант 2 (подстановка y = 4 − x)

1. Подставим в первое уравнение: x^2 + x(4 − x) + (4 − x)^2 = 13.
2. Упростим: x^2 + 4x − x^2 + 16 − 8x + x^2 = 13 → x^2 − 4x + 16 = 13.
3. Получаем x^2 − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 или x = 3.
4. Соответственно y = 4 − x: y = 3 или y = 1.
5. То же решение: (1, 3) и (3, 1).

Проверка: для (1, 3) — 1^2 + 1·3 + 3^2 = 1 + 3 + 9 = 13, сумма x + y = 4. Аналогично для (3, 1).

Ответ: пары (1, 3) и (3, 1).