У=х²-1/х+1

Задача: y = x^2 - 1/x + 1 Замечание: есть две возможные трактовки из-за отсутствия скобок. - Текущая трактовка: y = x^2 - 1/x + 1 (x ≠ 0). - Альтернатива (если имелась в виду общая дробь): y = (x^2 - 1)/(x + 1) (x ≠ -1), которая упрощается до y = x - 1. Здесь разберём первую трактовку (y = x^2 - 1/x + 1). Если нужна вторая трактовка, скажите — дам решение и для неё. 1) Область определения и общие свойства - Область определения: x ≠ 0, потому что есть член -1/x. - Вертикальная асимптота: при x → 0 справа y → -∞, при x → 0 слева y → +∞. Значит, функция имеет вертикальную асимптоту в x = 0. - При больших |x|: y ≈ x^2, поэтому график растёт как квадратичная функция и устремляется к +∞ при |x| → ∞. - Никаких горизонтальных/наклонных асимптот в обычном смысле здесь нет (поведение как x^2). 2) Производная и критические точки - Производная: y' = d/dx(x^2) + d/dx(-1/x) + d/dx(1) = 2x + 1/x^2. - Точка критическая: y' = 0. 2x + 1/x^2 = 0 -> умножим на x^2 (x ≠ 0): 2x^3 + 1 = 0 -> x^3 = -1/2 -> x = -2^(-1/3) ≈ -0.793700526. - Проверка знака производной: - Для x < x0 (-∞ < x < -0.7937): возмём, например, x = -2 → y' = -4 + 1/4 < 0. - Для x0 < x < 0: возьмём x = -0.5 → y' = -1 + 4 > 0. Значит, на (-∞, x0) у функции убывание, на (x0, 0) — возрастание. Следовательно, x0 — точка минимума на участке x < 0. 3) Значение минимума - Обозначим x0 = -2^(-1/3) и найдём y(x0): Пусть a = 2^(1/3) (> 0). Тогда x0 = -1/a. x0^2 = 1/a^2, -1/x0 = -1/(-1/a) = a, и 1 — просто 1. Значит y(x0) = 1/a^2 + a + 1. - Точное выражение минимума: y_min = 2^(-2/3) + 2^(1/3) + 1. - Численно: a ≈ 1.25992105, 1/a^2 ≈ 0.62996053. Тогда y_min ≈ 0.62996053 + 1.25992105 + 1 ≈ 2.88988158. - Следовательно, на всей области x < 0 функция достигает минимального значения ≈ 2.8899 в точке x ≈ -0.7937. 4) Точнее по функциям на разных участках - На участке (0, +∞): - y' = 2x + 1/x^2 > 0 для всех x > 0, значит функция strictly increasing. - При x → 0+: y → -∞ (доминирует -1/x). - При x → +∞: y → +∞. - Поэтому на (0, ∞) функция принимает все вещественные значения (-∞, ∞). - График на этом участке пересекает горизонтальную ось (y = 0) в точке, которая удовлетворяет x^3 + x - 1 = 0; есть единственный положительный корень примерно x ≈ 0.682. - На участке (-∞, 0): - Есть единственная критическая точка x0 ≈ -0.7937, где достигается минимум y ≈ 2.8899. - Для x → -∞: y → +∞. - Для x → 0-: y → +∞. - Значит, на (-∞, 0) диапазон значений начинается с y_min ≈ 2.8899 и идёт вверх к +∞. 5) Обобщённый вывод по графику и значению - Область определения: (-∞, 0) ∪ (0, ∞). - Вертикальная асимптота: x = 0. - Точка минимума (локальный и глобальный на участке x < 0): x ≈ -0.7937, y ≈ 2.8899. - На участке x > 0 функция возрастает и охватывает весь диапазон значений (-∞, ∞). - Рейтинг (общее множество значений): диапазон всего множества вещественных чисел R, потому что на (0, ∞) функция принимает любые значения от -∞ до +∞. 6) Краткое резюме для “Понять” - Это функция с вертикальной асимптотой в x = 0. - Есть единственная точка минимума на отрицательном x, равная примерно y ≈ 2.8899 при x ≈ -0.7937. - График на положительном полупериоде растёт без ограничений и пересекает ось OX примерно в точке x ≈ 0.682. - Функция на всём правом полупериоде принимает любые значения, поэтому общий диапазон значений — вся вещественная ось. 7) Альтернатива (если имелась в виду дробь) Если задача была y = (x^2 - 1)/(x + 1): - Область определения: x ≠ -1. - Упрощение: (x^2 - 1)/(x + 1) = (x - 1)(x + 1)/(x + 1) = x - 1 для x ≠ -1. - Значение функции близко к точке x = -1: предел при x → -1 равен -2, но точка с координатами (-1, -2) отсутствует в графике (потому что точка не входит в область определения). - График — прямая y = x - 1 с «дыркой» в точке (-1, -2). Если вам нужно, могу привести подробное решение и для второй трактовки (с построением графика, разбором разрыва и т.д.) или адаптировать под конкретный уровень класса и задания. Также скажите, какая цель у задачи (например, найти производную, максимум/минимум, найти разрывы и асимпоты, построить график и т.д.) — подстрою пояснения под неё.