Точки А и В - общие точки плоскостей а и В. Прямая а лежит в а, не лежит в и проходит через точку А. Прямая b лежит в в, не лежит в а и проходит через точку В. Докажите, что прямые а и b не пересекаются.

Решение (детальное пояснение) Даны плоскости α и β. Их общая часть — линия ℓ = α ∩ β. По условию точки A и B лежат на обеих плоскостях, то есть A, B ∈ α ∩ β. Предположим, что A и B различны (A ≠ B). Пусть прямая a лежит в α, проходит через A, и при этом не лежит в β. Пусть прямая b лежит в β, проходит через B, и при этом не лежит в α. Нужно доказать, что a и b не пересекаются. 1) Пусть P — произвольная точка пересечения a и b. Тогда P ∈ a ⊂ α и P ∈ b ⊂ β, значит P ∈ α ∩ β = ℓ. Так как A, B ∈ ℓ, получаем, что ℓ — линия AB. 2) Рассмотрим пересечение a с ℓ. Обе линии лежат в плоскости α, и a не совпадает с ℓ (иначе a бы лежала в β, против условия). Таким образом, в плоскости α две различные прямые пересекаются в одной точке. Эта точка — A. Следовательно a ∩ ℓ = {A}. 3) Аналогично пересечение b с ℓ в плоскости β: b ≠ ℓ, значит b ∩ ℓ = {B}. 4) Из пункта 1) мы знаем, что P ∈ ℓ, а из пунктов 2)–3) следует, что если P ∈ a ∩ ℓ, то P = A, и если P ∈ b ∩ ℓ, то P = B. Поэтому для точки пересечения P должен одновременно быть равно A и B, т.е. P = A = B. Это противоречит предположению A ≠ B. Следовательно, не существует точки P, лежащей и на a, и на b. Значит a ∩ b = ∅, то есть прямые а и b не пересекаются. Замечание. В условии важно, что A ≠ B. Если бы A = B, то обе прямые могли бы пройти через одну и ту же точку, и пересечение могло бы существовать. Поэтому формально правильнее считать, что A и B — две различные общие точки плоскостей α и β.