В треугольнике ФВС вершины А иВ и середина стороны АС лежит в плоскости бетаюДокажите что все стороны треугольника лежат в плоскости бета

Задача, как я понял: в пространстве дан треугольник ABC. Пусть вершины A и B лежат в плоскости β, а середина M стороны AC также лежит в β. Нужно доказать, что вся треугольник ABC лежит в плоскости β (то есть все стороны AB, BC, CA лежат в β). Пошаговое доказательство: 1) Так как A и B принадлежат плоскости β, любая прямая, проходящая через A и B, целиком лежит в β. Значит прямая AB ⊂ β. 2) Медиана M стороны AC — это точка середины отрезка AC. По условию M лежит в β, а M тоже лежит на прямой AC (это свойство середины: M лежит на отрезке AC, следовательно на линии AC). Следовательно прямая, проходящая через A и M, совпадает с прямой AC. Так как две точки A и M лежат в β, прямая AM ⊂ β. И так как AM есть та же самая прямая, что и AC, то и AC ⊂ β. 3) Из того, что AC ⊂ β и A ∈ β, следует, что C лежит на той же плоскости β (поскольку прямая AC содержит A и C, а AC уже лежит в β). 4) Теперь в β лежат A, B и C. Значит любая прямая, проходящая между любыми двумя из этих точек, например BC или AB, лежит в β. В частности, AB ⊂ β (уже было) и BC ⊂ β. Также CA ⊂ β (как мы показали). Следовательно весь треугольник ABC лежит в плоскости β. Итог: из условий, что A и B лежат в β, и середина AC лежит в β, следует, что AC лежит в β, поэтому C ∈ β, и вся плоскость треугольника ABC совпадает с β. Краткое замечание: можно привести альтернативное доказательство через координаты. Пусть β — плоскость z = 0. Тогда A(x1, y1, 0), B(x2, y2, 0), а M(midpoint of A и C) имеет координаты ( (xA+xC)/2, (yA+yC)/2, 0 ). Так как M лежит в β, его z-координата = 0. Так же, прямая AC проходит через A и M, значит вся прямая AC имеет z = 0, следовательно C тоже имеет z = 0, т.е. C ∈ β. Таким образом снова все вершины в β.