Из вершины B и D параллелограма ABCD, у которого AB не равна BC и угол A острый, проведкны перпендикуляры BK и DM к прямой AC.Докажите, что четырёхугольник BMDK- параллелограм
Задача: В параллелограмме ABCD, где AB ≠ BC и ∠A острый, опущены перпендикуляры BK и DM к диагонали AC (K и M лежат на AC). Доказать, что BMDK— параллелограмм.
Пусть A = 0 (ведём векторное координатное пространство), векторы AB = u и AD = v. Тогда:
- B = u, D = v, C = u + v.
- Diagonal AC имеет направляющий вектор u + v.
- Обозначим a = |u|^2, b = |v|^2, c = u · v. Понятно, что ∠A острый значит c > 0.
- Координаты точек K и M (нужно найти точки пересечения с AC такой, что BK ⟂ AC и DM ⟂ AC).
Пусть K = t(u + v). Условие BK ⟂ AC даёт (K − B) · (u + v) = 0: (t(u + v) − u) · (u + v) = 0. Раскрывая, получаем t = (a + c) / (a + b + 2c) = (a + c)/D, где D = a + b + 2c.
Пусть M = s(u + v). Условие DM ⟂ AC даёт (s(u + v) − v) · (u + v) = 0: (s(u + v) − v) · (u + v) = 0, что даёт s = (b + c) / (a + b + 2c) = (b + c)/D.
- Векторы BM и DK.
BM = M − B = s(u + v) − u = (−1 + s)u + s v. Подставим s = (b + c)/D: −1 + s = −(a + c)/D, поэтому BM = [−(a + c)/D] u + [(b + c)/D] v = (1/D)[ −(a + c)u + (b + c)v ].
DK = K − D = t(u + v) − v = t u + (t − 1) v. Подставим t = (a + c)/D: t = (a + c)/D, t − 1 = −(b + c)/D, поэтому DK = [ (a + c)/D ] u − [ (b + c)/D ] v = (1/D)[ (a + c)u − (b + c)v ].
- Применение найденных выражений. Заметим, что BM = − DK: BM = (1/D)[ −(a + c)u + (b + c)v ] = − (1/D)[ (a + c)u − (b + c)v ] = − DK.
Следовательно, BM ∥ DK (они параллельны и противоположны по направлению). Также BK ⟂ AC и DM ⟂ AC, значит BK ∥ DM (обе перпендикулярны AC).
Имеем две пары противоположных сторон параллелограмма:
- BM ∥ DK
- BK ∥ DM
Отсюда BMDK — параллелограмм.
Замечания:
- Условие ∠A острый и AB ≠ BC обеспечивают невыраженную общность ситуации (правда, вычисления показывают, что полученный результат не зависит строго от этих условий, но они исключают degenerate случаи и помогают интерпретации задачи на геометрическом уровне).
