в правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рëбра которой равны 1 найдите расстояние между точками A и E1?

Ответ: 2

Пошаговое решение

• Пусть основание призмы — правильный шестиугольник со сторонами AB = 1. Высота призмы равна длине ребра AA1 = 1.

• Найдём расстояние AE в основании. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности R равен стороне s, то есть R = 1. Угол между радиусами OA и OE равен 120° (A и E — через два шага по окружности, кратчайшее центральное угловое расстояние между ними равно 120°).

• Длину AE можно найти как хорду круга: AE = 2R sin(угол/2) = 2·1·sin(60°) = 2·(√3/2) = √3.

• Теперь рассмотрим трёхмерное расстояние между точками A и E1. Его можно разложить на горизонтальную часть AE в основании и вертикальную часть AA1, которые ортogonalны друг другу. Поэтому по теореме Пифагора: AE1^2 = AE^2 + AA1^2 = (√3)^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4.

• Следовательно, AE1 = √4 = 2.