Как доказать монотонность функции используя только определение

Отлично. Доказать монотонность функции "только по определению" значит доказать, что для любых x и y из области определения с x < y выполняется нужное неравенство: f(x) ≤ f(y) для неубывающей монотонности, или f(x) < f(y) для строгой монотонности (и аналогично для убывания). Ниже – как это делать по шагам и на примерах, подходящих для 9 класса алгебры.

Что такое монотонность (по определению)

• Функция f на области определения D называется:
  • неубывающей (возрастающей) если для всех x, y из D, x < y ⇒ f(x) ≤ f(y).
  • строго возрастающей если для всех x, y из D, x < y ⇒ f(x) < f(y).
  • не возрастающей (убывающей) аналогично с ≥ или ≤.
• Важно: доказательство строится строго в рамках условия x < y и для всех допустимых пар точек.

Как доказать по шагам (общий алгоритм)

1. Уточнить область определения D функции.
2. Выбрать требуемый вид монотонности (возрастающая, строго возрастающая, убывающая и т. д.).
3. Для произвольных x, y из D, таких что x < y, показать неравенство f(x) ≤ f(y) (или f(x) < f(y)).
4. Часто полезно привести разность f(y) − f(x) и показать, что она неотрицательна (или положительна) для любых x < y.
5. Если функция имеет разрывы или кусочно задана, делить D на участки, где поведение функции однозначно, и доказывать отдельно для каждого участка.
6. Проверяйте крайности: если нашли контрпример (существование пары x<y с f(y) < f(x) или f(y) ≤ f(x) не выполняется), то функция не монотонна на всей области.

Примеры (пошагово, по определению)

Пример 1. f(x) = x^3 на всей R

• Нужно показать: для любых x < y выполняется f(x) < f(y).
• Раскладываем разность: f(y) − f(x) = y^3 − x^3 = (y − x)(y^2 + xy + x^2).
• Поскольку x < y, тогда (y − x) > 0. А скаляр y^2 + xy + x^2 = (x^2 + y^2) + xy ≥ 0; на практике видно, что сумма квадратов и произведение двух реальных чисел неотрицательна и strictly > 0 для любой пары x ≠ y. В любом случаеProduct (y−x)·(y^2+xy+x^2) > 0.
• Следовательно f(y) − f(x) > 0 для всех x < y, значит f(x) = x^3 строго возрастает на R.

Пример 2. f(x) = x^2 на всей R

• Здесь неравенство f(y) − f(x) = (y − x)(y + x) не имеет фиксированной знаковой зависимости на всей R, поэтому функция не монотонна на всей области определения.
• Разделим по участкам:
  • На D1 = [0, ∞): если 0 ≤ x < y, то y − x > 0 и y + x ≥ 0, значит f(y) − f(x) = (y − x)(y + x) > 0, т. е. f возрастает на [0, ∞).
  • На D2 = (−∞, 0]: если x < y ≤ 0, то y − x > 0, но y + x ≤ 0, поэтому f(y) − f(x) ≤ 0, т. е. f убывает на (−∞, 0].
• Из этого следует: x^2 не монотонна на всей R, но монотонна на каждом из двух указанных участков отдельно (возрастающая на [0, ∞) и убывающая на (−∞, 0]).

Пример 3. f(x) = e^x

• Для любых x < y имеем e^x < e^y (ведь экспонента возрастает на всей R). Это можно оформить как: f(y) − f(x) = e^y − e^x = e^x(e^{y−x} − 1).
• Так как e^x > 0 и y − x > 0, то e^{y−x} − 1 > 0. Значит f(y) − f(x) > 0.
• Следовательно, f(x) = e^x строго возрастает на R.

Пример 4. f(x) = floor(x) (целая часть)

• Область D = R. Пусть x < y. Тогда floor(y) ≥ floor(x). Это свойство следует из того, что между двумя числами любого интервала всегда есть целая часть не меньшая, чем целая часть меньшего числа. Формально можно разложить по случаям, но итог: floor возрастает нестрого: для некоторых пар x<y могут быть floor(y) = floor(x), но никогда floor(y) < floor(x).
• Значит, f(x) = floor(x) нестрого монотонно возрастает на R (то есть неубывает).

Пример 5. f(x) = sqrt(x) (область D = [0, ∞))

• Для 0 ≤ x < y: f(y) − f(x) = sqrt(y) − sqrt(x) = (y − x) / (sqrt(y) + sqrt(x)).
• Числитель положителен (y − x > 0), знаменатель положителен (sqrt(y) + sqrt(x) > 0), значит f(y) − f(x) > 0.
• Следовательно, sqrt(x) строго возрастает на [0, ∞).

Полезные заметки

• Если функция кусочно задана, иногда помогает рассмотреть каждую часть отдельно, где поведение известно.
• Чтобы показать монотонность по определению, обычно достаточно работы с выражением f(y) − f(x) или фактами об знаке множителей после разложения.
• Различайте неубывающую (≤) и строго возрастающую (<); иногда функция может быть нестрого монотонной на всей области, но все же неубывающей.
• При необходимости можно привести конкретные контрпримеры, чтобы показать отсутствие монотонности на всей области.

Если хочешь, могу проверить конкретную твою функцию и показать доказательство монотонности строго по определению. Пришли саму функцию и область определения.