Координаты движущегося по плоскости точечного тела изменяются по законам : х(t) = 2+4t, y(t) =4-7t где х и y измеряют в метрах, а t в секундах. изобразите на графике траекторию движения тела и векторы его перемещений за первую, за вторую секунду движения и за первые три секунды движения . определите пройденные телом пути за указанные промежутки времени

Решение задачи для класса 10, цель – понять. Дано: x(t) = 2 + 4t, y(t) = 4 − 7t, t в секундах, x и y в метрах. 1) Скорость и направление движения - vx = dx/dt = 4 (м/с) - vy = dy/dt = −7 (м/с) - Скорость v = sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(4^2 + (−7)^2) = sqrt(65) ≈ 8.06 м/с - Вектор скорости v = (4, −7) м/с. Движение по плоскости направлено вдоль этой же прямой, поскольку скорость константа. 2) Траектория - Координаты точек на траектории в разные моменты: - t = 0: r(0) = (2, 4) - t = 1: r(1) = (6, −3) - t = 2: r(2) = (10, −10) - t = 3: r(3) = (14, −17) - Линейная траектория: линия, проходящая через эти точки. Уравнение траектории можно записать через производную или через прямую: - Наклон m = dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (−7)/4 - Через точку (2,4): y − 4 = (−7/4)(x − 2) - Приведение к стандартному виду: 7x + 4y = 30 Это и есть уравнение траектории: прямая линия с коэффициентами 7 и 4. 3) Векторы перемещений за указанные промежутки - За первую секунду (с t = 0 до t = 1): Δr01 = r(1) − r(0) = (6 − 2, −3 − 4) = (4, −7) м - За вторую секунду (с t = 1 до t = 2): Δr12 = r(2) − r(1) = (10 − 6, −10 − (−3)) = (4, −7) м - За первые три секунды (с t = 0 до t = 3): Δr03 = r(3) − r(0) = (14 − 2, −17 − 4) = (12, −21) м 4) Пройденный путь (длина траектории) за указанные промежутки - Длина в первом интервале: |Δr01| = sqrt(4^2 + (−7)^2) = sqrt(65) ≈ 8.06 м - Длина во втором интервале: |Δr12| = sqrt(65) ≈ 8.06 м (потому что тот же вектор перемещений) - Длина за три секунды: |Δr03| = sqrt(12^2 + (−21)^2) = sqrt(144 + 441) = sqrt(585) = 3 * sqrt(65) ≈ 24.19 м - Также можно проверить через скорость: длина = скорость * время - за 1 с: sqrt(65) м - за 2 с: 2 sqrt(65) м ≈ 16.12 м (суммарно за две секунды) - за 3 с: 3 sqrt(65) м ≈ 24.19 м 5) Как изобразить на графике - Отметьте оси координат и точки: - A = r(0) = (2, 4) - B = r(1) = (6, −3) - C = r(2) = (10, −10) - D = r(3) = (14, −17) - Постройте траекторию как прямую, проходящую через эти точки. Уравнение траектории: 7x + 4y = 30. - Векторы перемещений: - Вектор за первую секунду: от A к B, вектор (4, −7) - Вектор за вторую секунду: от B к C, вектор (4, −7) - Вектор за первые три секунды: от A к D, вектор (12, −21) - Замечание: вектор перемещений за каждую секунду одинаков по направлению и размеру, потому что скорость константна. Вектор за три секунды равен сумме трех интервалов и равен (12, −21) = 3*(4, −7). - Если хотите нарисовать на графике в масштабе, можно выбрать шкалу, например 1 единица по оси = 1 м, и отложить точки A, B, C, D, затем провести стрелки: - A → B (длина ≈ 8.06 м) - B → C (длина ≈ 8.06 м) - A → D (длина ≈ 24.19 м) Итоговые значения - Траектория: прямая 7x + 4y = 30 (или y = −7/4 x + 15/2) - r(0) = (2, 4), r(1) = (6, −3), r(2) = (10, −10), r(3) = (14, −17) - Векторы перемещений: Δr01 = (4, −7); Δr12 = (4, −7); Δr03 = (12, −21) - Длины пройденного пути: за 1 с и за 2 с по sqrt(65) ≈ 8.06 м; за 3 с по 3 sqrt(65) ≈ 24.19 м Если хотите, могу привести это решение в виде готового чертежа или предоставить скрипт/инструкцию для построения графика в Desmos или Python.