построить произвольный четырехугольник. построить фигуру с коэффициентом гомотетии 2 центр гомотетии произвольно
Кратко: выберите центр гомотетии O произвольно. Для каждой вершины P квадрилатера ABCD постройте її образ P' так, чтобы O, P, P' были коллинеарны и OP' = 2 · OP. Соедините полученные вершины A'B'C'D' — получится фигура, полученная из ABCD гомотетией с коэффициентом 2 и центром O.
Пошаговое решение (строй по максимуму наглядности и удобству для школьной геометрии):
Постройте исходный произвольный четырехугольник ABCD (выберите любой вид и порядок вершин).
Выберите центр гомотетии O произвольно. Замечание: центр не должен совпадать с вершинами ABCD (желательно выбрать точку где-нибудь в плоскости, например вблизи рисунка).
Для каждой вершины P из множества {A, B, C, D} выполните следующие построения, чтобы получить P':
- Шаг 1. Постройте луч OP (например, линейка может быть проведена через O и P).
- Шаг 2. На луче OP отложите отрезок OA1 равной длины OP. Это можно сделать так: возьмите циркуль, установите его на O и радиус равный OP, и пересёкитесь лучом OP в точке A1. Тогда OA1 = OP.
- Шаг 3. Постройте окружность с центром в A1 и радиусом OP. Эта окружность пересечёт луч OP в точке P', лежащей дальше от O чем A1. По свойству: A1P' = OP, а OA' = OA1 + A1P' = OP + OP = 2·OP.
- Шаг 4. Обозначьте полученную точку как P'. В результате на луче OP найдётся точка P', такая что OP' = 2·OP и O, P, P' коллинеарны.
Повторите эти шаги для всех вершин: A → A', B → B', C → C', D → D'.
Соедините вершины в порядке A'B'C'D'. Это и есть образ исходного четырехугольника ABCD под гомотетией с коэффициентом 2 и центром O.
Почему так работает (когда нужен короткий комментарий к доказательству):
- Гомотетия с центром O и коэффициентом k = 2 отправляет каждую точку P в P' на линии OP так, что OP' = k·OP. В нашем случае k = 2.
- Линии направления остаются коллинеарными, поэтому O, P, P' лежат на одной прямой, и образ вершин получен простым удвоением расстояния от O.
- Отрезки AB и A'B' параллельны друг другу (гомотетия сохраняет углы и параллельность для прямых, не проходящих через центр).
Дополнительные заметки:
- Результат: A'B'C'D' — подобен ABCD с коэффициентом 2, центр гомотетии O, и порядок вершин сохраняется.
- Если потребуется, можно привести координатный способ: если A=(xA,yA), B=(xB,yB), C=(xC,yC), D=(xD,yD) и O=(xO,yO), то образ каждой вершины P' имеет координаты P' = O + 2·(P - O) = (2xP - xO, 2yP - yO). Это можно проверить простыми векторными вычислениями.
- Советы по практике: выберите O заранее в удобном месте, чтобы рисунок A'B'C'D' располагался на листе удобно; если O совпадает с одной из вершин, процедура всё равно работает, но удобнее взять O отдельно от вершин.
Если хотите, могу привести конкретный пример с произвольными координатами вершин ABCD и конкретным выбором центра O, чтобы наглядно проследить построение и проверить получившийся пятиугольник.
