сократите дробь: а) a^2-ab+B2/a^3+b^3 б) а^3+b^3/a-b в) (a+b)^3/a^3+b^3 г) a^3-b^3/a^2-b^2

Ниже подробные решения по каждой части с пошаговыми пояснениями. Предмет: алгебра средней школы. Параметры класса/pредмет не указаны, принимаем общий школьный уровень.

а) Сократить (a^2 − ab + b^2) / (a^3 + b^3)

1. Распишем знаменатель по формуле суммы кубов: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2).
2. Вносим это в дробь: (a^2 − ab + b^2) / [(a + b)(a^2 − ab + b^2)].
3. Видим общий множитель (a^2 − ab + b^2). Можно сократить его: = 1 / (a + b).
4. Условия: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. a + b ≠ 0 (а числитель и знаменатель имеют общий множитель только в случае сложных значений; в реальных числах а^2 − ab + b^2 не обращается в ноль за пределами исключительных случаев). Основное требование: a ≠ −b.

Ответ: 1/(a + b).

б) Сократить (a^3 + b^3) / (a − b)

1. Попытка сократить возможно только если a − b делит числитель. Проверяем делимость как многочлена: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2).
2. Делитель a − b не совпадает с одним из множителей числителя. В общем виде a − b не является фактором a^3 + b^3 (кроме частных случаев), поэтому сокращения нет.
3. Можно привести краткое обоснование: если подставить a = b, числитель становится 2 b^3, не равный нулю в общем случае; значит a − b не является множителем числителя, следовательно общие множители отсутствуют.
4. Остаться в виде (a^3 + b^3) / (a − b) с условием a ≠ b.

Ответ: нельзя сократить; оставляем как есть (a^3 + b^3) / (a − b).

в) Сократить (a + b)^3 / (a^3 + b^3)

1. Разложим числитель: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
2. Знаменатель: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2).
3. Заметим общий множитель (a + b): (a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2.
4. Сократим: [(a + b)(a + b)^2] / [(a + b)(a^2 − ab + b^2)] = (a + b)^2 / (a^2 − ab + b^2).
5. Условия: a + b ≠ 0 (чтобы исходный знаменатель был отличен от нуля). В реальных числах дополнительно a^2 − ab + b^2 обычно > 0, так что после сокращения проблем с нулем не возникает, кроме того случая, когда a = b = 0 (а тогда a + b = 0).

Ответ: (a + b)^2 / (a^2 − ab + b^2).

г) Сократить (a^3 − b^3) / (a^2 − b^2)

1. Раскроем знаменатель: a^2 − b^2 = (a − b)(a + b).
2. Раскроем числитель по формуле разности кубов: a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2).
3. Подставим: [(a − b)(a^2 + ab + b^2)] / [(a − b)(a + b)].
4. Сократим общий множитель (a − b) (при условии a ≠ b; иначе исходная дробь неопределена): = (a^2 + ab + b^2) / (a + b).
5. Условия: a ≠ b и a ≠ −b (чтобы исходная дробь была определена).

Ответ: (a^2 + ab + b^2) / (a + b).