Сократите дробь: а) a^2-ab+B2/a^3+b^3 б) а^3+b^3/a-b в) (a+b)^3/a^3+b^3 г) a^3-b^3/a^2-b^2

Ниже подробные решения по каждой части с пошаговыми пояснениями. Предмет: алгебра средней школы. Параметры класса/pредмет не указаны, принимаем общий школьный уровень. а) Сократить (a^2 − ab + b^2) / (a^3 + b^3) 1) Распишем знаменатель по формуле суммы кубов: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2). 2) Вносим это в дробь: (a^2 − ab + b^2) / [(a + b)(a^2 − ab + b^2)]. 3) Видим общий множитель (a^2 − ab + b^2). Можно сократить его: = 1 / (a + b). 4) Условия: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. a + b ≠ 0 (а числитель и знаменатель имеют общий множитель только в случае сложных значений; в реальных числах а^2 − ab + b^2 не обращается в ноль за пределами исключительных случаев). Основное требование: a ≠ −b. Ответ: 1/(a + b). б) Сократить (a^3 + b^3) / (a − b) 1) Попытка сократить возможно только если a − b делит числитель. Проверяем делимость как многочлена: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2). 2) Делитель a − b не совпадает с одним из множителей числителя. В общем виде a − b не является фактором a^3 + b^3 (кроме частных случаев), поэтому сокращения нет. 3) Можно привести краткое обоснование: если подставить a = b, числитель становится 2 b^3, не равный нулю в общем случае; значит a − b не является множителем числителя, следовательно общие множители отсутствуют. 4) Остаться в виде (a^3 + b^3) / (a − b) с условием a ≠ b. Ответ: нельзя сократить; оставляем как есть (a^3 + b^3) / (a − b). в) Сократить (a + b)^3 / (a^3 + b^3) 1) Разложим числитель: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. 2) Знаменатель: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2). 3) Заметим общий множитель (a + b): (a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2. 4) Сократим: [(a + b)(a + b)^2] / [(a + b)(a^2 − ab + b^2)] = (a + b)^2 / (a^2 − ab + b^2). 5) Условия: a + b ≠ 0 (чтобы исходный знаменатель был отличен от нуля). В реальных числах дополнительно a^2 − ab + b^2 обычно > 0, так что после сокращения проблем с нулем не возникает, кроме того случая, когда a = b = 0 (а тогда a + b = 0). Ответ: (a + b)^2 / (a^2 − ab + b^2). г) Сократить (a^3 − b^3) / (a^2 − b^2) 1) Раскроем знаменатель: a^2 − b^2 = (a − b)(a + b). 2) Раскроем числитель по формуле разности кубов: a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2). 3) Подставим: [(a − b)(a^2 + ab + b^2)] / [(a − b)(a + b)]. 4) Сократим общий множитель (a − b) (при условии a ≠ b; иначе исходная дробь неопределена): = (a^2 + ab + b^2) / (a + b). 5) Условия: a ≠ b и a ≠ −b (чтобы исходная дробь была определена). Ответ: (a^2 + ab + b^2) / (a + b).