косинус 2 Х минус 5 косинус х минус 2 равно 0

Задача: cos(2x) − 5 cos x − 2 = 0

Детальное решение

1. Применим тригонометрическую тождество cos(2x) = 2 cos^2 x − 1. Введём t = cos x.

2. Приведём выражение к квадратному виду по t: cos(2x) − 5 cos x − 2 = (2 cos^2 x − 1) − 5 cos x − 2 = 0 Подставим t: 2t^2 − 1 − 5t − 2 = 0 → 2t^2 − 5t − 3 = 0

3. Решим квадратное уравнение в t. Можно разложить на множители: 2t^2 − 5t − 3 = (2t + 1)(t − 3) = 0 Получаем корни: t = 3 или t = −1/2

4. Учтём область допустимых значений: t = cos x, поэтому t = 3 невозможно (модуля не может быть больше 1). Остаётся: cos x = −1/2

5. Найдём все x, удовлетворяющие cos x = −1/2. В общем виде: x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, где k ∈ Z. В градусах: x = 120° + 360°k или x = 240° + 360°k.

6. Примеры ограниченного интервала [0, 2π): x = 2π/3 и x = 4π/3.

Проверка (по желанию): подставим cos x = −1/2 в исходное уравнение и убедимся, что оно равно нулю. Да, проверка сходится.

Итого:

• Общий вид решений: x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z.
• В интервале [0, 2π): x = 2π/3, 4π/3.