Постройте график заданной функции,найдите область определения и область значения функции, y=3-2x^2

Задача: построить график функции y = 3 - 2x^2 и найти область определения и область значений. Пояснение и решение (для 10-го класса, подробно): 1) Характер функции - Это квадратичная функция (парабола) с коэффициентом перед x^2 равным -2. Значение коэффициента перед x^2 отрицательное, значит ветви параболы направлены вниз. 2) Область определения - Любая полиномная функция определена на всей числовой оси. Поэтому область определения D = R (x ∈ ℝ). 3) Область значений - Поскольку парабола открывается вниз, её максимальное значение достигается в вершине. - Найдём вершину. Для функции вида y = ax^2 + bx + c вершина по x равна x_v = -b/(2a). Здесь a = -2, b = 0, поэтому x_v = -0/(2·(-2)) = 0. - Значение в вершине: y_v = y(0) = 3. - Максимум равен 3, минимальное значение стремится к -∞ при |x| → ∞. - Следовательно, область значений: (-∞, 3]. 4) Перехваты (для удобства построения графика) - y-перехрат (при x = 0): y = 3, точка (0, 3). - x-перехваты: при y = 0 получаем 3 - 2x^2 = 0 → 2x^2 = 3 → x^2 = 3/2 → x = ±√(3/2) ≈ ±1.2247. Так что точки пересечения оси абсцисс примерно в (√(3/2), 0) и (-√(3/2), 0). 5) Промежуточные значения (для наглядности при построении) Можно взять несколько крупных значений x и посчитать y: - x = -3: y = 3 - 2·9 = -15 - x = -2: y = 3 - 2·4 = -5 - x = -1: y = 3 - 2·1 = 1 - x = 0: y = 3 - x = 1: y = 1 - x = 2: y = -5 - x = 3: y = -15 Пары точек: (-3, -15), (-2, -5), (-1, 1), (0,3), (1,1), (2,-5), (3,-15). 6) Как построить график - Постройте координатные оси. - Отметьте вершину в точке (0, 3). - Отметьте пересечение с осью y: (0, 3) (уже учтено). - Отметьте x-пересечения: примерно ±1.2247 на оси x. - Соедините точки плавной U-образной кривой, симметричной относительно оси y (поскольку функция является даже: y(-x) = y(x)). - Область значений будет ниже или равной 3 (верхняя точка параболы на уровне y = 3). Ответы в явном виде: - Область определения: D = ℝ. - Область значений: {y ∈ ℝ | y ≤ 3} = (-∞, 3]. - График: downward-opening парабола с вершиной в (0, 3), пересечениям с осью x в примерно ±1.2247, ось симметрии: x = 0. Если хотите, могу нарисовать схематичную таблицу точек или привести небольшой пример набора точек на бумаге/в графическом приложении и объяснить, как перенести это на график.