перевести данные комплексные числа в тригонометрических и показательную формы z=-3+3i и z=4-2i

Ниже для каждого числа приведены модуль и аргумент, затем записи в тригономической и показательной формах.

Общие обозначения:

• z = a + bi
• Модуль r = √(a^2 + b^2)
• Аргумент θ выбираем в зависимости от квадранта: z = r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ}
• Возможны и другие эквивалентные аргументы θ + 2kπ, k ∈ Z

1. z = -3 + 3i

• Модуль: r = √((-3)^2 + 3^2) = √(9 + 9) = √18 = 3√2
• Аргумент: a < 0, b > 0 → квадрант II. Тангенс θ = b/a = 3/(-3) = -1, поэтому θ = 3π/4 (135°)
• Тригономическая форма: z = 3√2 [cos(3π/4) + i sin(3π/4)]
• Показательная форма: z = 3√2 e^{i 3π/4}
• Дополнительная заметка: можно записать и с другим аргументом θ = 3π/4 + 2kπ, k ∈ Z

2. z = 4 - 2i

• Модуль: r = √(4^2 + (-2)^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5
• Аргумент: a > 0, b < 0 → квадрант IV. tan θ = b/a = (-2)/4 = -1/2. Поэтому основной аргумент θ = -arctan(1/2) ≈ -0.46365 rad (или ≈ -26.565°). Альтернативно θ ≈ 2π - 0.46365 ≈ 5.81954 rad
• Тригономическая форма: z = 2√5 [cos(-arctan(1/2)) + i sin(-arctan(1/2))]
• Показательная форма: z = 2√5 e^{i(-arctan(1/2))}
• Дополнительная заметка: можно записать через явные коэффициенты cos и sin: cos θ = a/r = 4/(2√5) = 2/√5, sin θ = b/r = -2/(2√5) = -1/√5, тогда z = 2√5[(2/√5) + i(-1/√5)] = 4 - 2i (проверка).

Кратко резюме для удобства:

• z1 = -3 + 3i: r = 3√2, θ = 3π/4 → z1 = 3√2(cos 3π/4 + i sin 3π/4) = 3√2 e^{i3π/4}
• z2 = 4 - 2i: r = 2√5, θ = -arctan(1/2) ≈ -0.46365 rad (или ≈ 333.435°) → z2 = 2√5(cos(-arctan(1/2)) + i sin(-arctan(1/2))) = 2√5 e^{i(-arctan(1/2))}