обратите чистые периодические десятичные дроби в обыкновенные 0.(42) и 0.(513)

Задача понятна. Преобразуем чистые периодические десятичные дроби в обыкновенные дроби.

Метод (общий принцип):

• Пусть x = 0.(период). Умножаем x на 10^n, где n — длина периода, чтобы сдвинуть период на целую часть.
• Затем вычитаем исходное x и получаем уравнение: (10^n - 1) x = целая часть периода.
• Решаем и упрощаем дробь.

1. 0.(42)

• Длина периода n = 2, число периода = 42.
• Пусть x = 0.424242...
• Умножаем на 100: 100x = 42.424242...
• Вычитаем: 100x - x = 42.4242... - 0.4242... ⇒ 99x = 42
• x = 42/99. Упростим: gcd(42,99) = 3, поэтому x = (42/3) / (99/3) = 14/33.
• Итог: 0.(42) = 14/33.
• Проверка: 14/33 ≈ 0.424242..., да, соответствует.

2. 0.(513)

• Длина периода n = 3, число периода = 513.
• Пусть x = 0.513513...
• Умножаем на 1000: 1000x = 513.513513...
• Вычитаем: 1000x - x = 513.513... - 0.513... ⇒ 999x = 513
• x = 513/999. Упростим: gcd(513,999) = 27, поэтому x = (513/27) / (999/27) = 19/37.
• Итог: 0.(513) = 19/37.
• Проверка: 19/37 ≈ 0.513513..., да, верно.

Коротко:

• 0.(42) = 42/99 = 14/33.
• 0.(513) = 513/999 = 19/37.

Если нужно, могу привести аналогичные преобразования для любых других чистых репитирующих дробей.