в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M - тачка на стороне AD, что AM = половине MD. выразите через векторы x=AD, y=AB следующее векторы: AM, MC, BM, OM.

Решение векторного выражения в параллелограмме ABCD с данными x = AD и y = AB.

1. Заданные положения и выбор системы координат

• Пусть A — начало координат: A = 0.
• Вектор AB равен y, значит B = y.
• Вектор AD равен x, значит D = x.
• Тогда C = A + AB + AD = x + y.
• Диагонали в параллелограмме пересекаются в своей середине, поэтому O — середина AC: O = (A + C)/2 = (x + y)/2.

2. Положение точки M на стороне AD

• M лежит на AD и AM = (1/2) MD. Пусть M = A + t AD = t x, где t ∈ [0,1].
• Тогда AM = t x, MD = D − M = x − t x = (1 − t) x.
• Условие AM = (1/2) MD даёт t x = (1/2)(1 − t) x, откуда t = 1/3.
• Следовательно M = (1/3) x и AM = (1/3) x.

3. Выражение нужных векторов через x и y

• AM = M − A = (1/3) x.
• MC = C − M = (x + y) − (1/3) x = (2/3) x + y.
• BM = M − B = (1/3) x − y.
• OM = M − O = (1/3) x − (x + y)/2 = −(1/6) x − (1/2) y.

Итак, векторы, выраженные через x = AD и y = AB:

• AM = (1/3) x
• MC = (2/3) x + y
• BM = (1/3) x − y
• OM = −(1/6) x − (1/2) y

Проведённые вычисления согласованы с тем, что A — начальная точка, B = y, D = x, C = x + y, O = (x + y)/2, и M лежит на AD на расстоянии 1/3 от A.