острые углы прямоугольного треугольника равны 64 и 26 найдите угол между высотой и медианой проведенными из вершины прямого угла ответ дайте в градусах.
Задача: в прямоугольном треугольнике острые углы 64° и 26°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ в градусах.
Обозначим треугольник ABC с прямым углом в A. Пусть угол B = 64°, угол C = 26°. Пусть AB = b, AC = c, гипотенуза BC.
- Отношение сторон через угол B:
- tan B = AC/AB = c/b = t.
- Значит t = tan 64° (положительно). Также c/b = t и b/c = 1/t.
- Геометрия высоты AH и медианы AM к гипотенузе BC:
- У линии BC коэффициент подъёма m_BC = (C.y - B.y)/(C.x - B.x) = -c/b = -t.
- Высота AH перпендикулярна BC, значит её наклон m_AH = 1/t (обратно-перпендикулярный коэффициент).
- Медиана AM идёт к середине гипотенузы; её наклон m_AM = (c/2)/(b/2) = c/b = t.
Угол между двумя прямыми с коэффициентами наклона m1 и m2: tan(угол) = |(m2 - m1) / (1 + m1 m2)|. Здесь m1 = m_AH = 1/t, m2 = m_AM = t. Тогда m1 m2 = (1/t)·t = 1, и tan(угол) = |(t - 1/t) / (1 + 1)| = |(t - 1/t) / 2| = |(t^2 - 1) / (2t)|.
Подстановка t = tan 64°: tan(угол) = (t^2 - 1) / (2t). Сейчас t ≈ 2.0503, поэтому tan(угол) ≈ (4.2034 - 1) / (4.1006) ≈ 3.2034 / 4.1006 ≈ 0.781.
Вкладённый угол: угол ≈ arctan(0.781) ≈ 38°.
Ответ: 38° (приближённо, до ближайшего градуса). Применимо также и если взять другой острый угол 26° — результат получится тем же.
