Задача Задача №3400970
А
А
реши задание 408
Задача 408: Точка пересечения двух равных chords принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.
Обозначения:
- О — центр окружности.
- AB и CD — равные хорды, пересекающиеся в точке P.
- l — диаметр, проходящий через P (то есть прямой OP).
- σ — отражение по линии l (симметрия относительно диаметра).
Доказательство по шагам:
- Свойство отражения
- Отражение σ по линии l (через центр O) сохраняет окружность и фиксирует линию l (то есть точки O и P остаются на месте).
- Следовательно, любая хорда AB под действием σ переходит в хорду A′B′, которая также лежит на окружности и проходит через P, и длина A′B′ равна длине AB (отражение сохраняет расстояния).
- Применение к данной паре хорда
- Пусть AB — одна из равных хорда: AB = CD, и AB пересекается с CD в точке P, где P лежит на диаметре l.
- Под действием σ хорда AB переходит в хорду A′B′, проходящую через P, и длина A′B′ равна AB.
- По условию задачи, существует еще одна хорда CD через P той же длины AB.
- Вывод
- Через точку P существуют как минимум две хорды одинаковой длины AB: это AB и A′B′ (отрефлексированная AB). Так как нам дали ещё одну хорду CD той же длины AB, она должна совпадать с A′B′.
- Следовательно, CD является отражением AB относительно линии l. То есть AB и CD симметричны относительно прямой, содержащей данный диаметр l.
Итог: две равные хорды, пересекающиеся в точке на диаметре, действительно симметричны относительно этой диаметральной прямой.
Дополнительная иллюстративная заметка (необязательно, но полезно):
- Можно привести координатное доказательство: поместим окружность радиуса R в центрe в начале координат, возьмем диаметр как ось x, точку пересечения P = (p, 0), линю AB через P под углом θ к оси x. Расстояние от центра до этой прямой d = |p sin θ|, длина хорды AB будет L(θ) = 2 sqrt(R^2 − p^2 sin^2 θ), что есть четная функция: L(θ) = L(−θ). Значит хорда, симметричная AB относительно оси x, имеет ту же длину. Это и есть хорда CD, следовательно CD — отражение AB относительно диаметра.
