1. выполните задание : а) cosП/4=√2/2; б) sinП/3=√3/2 ; в) sin(-П/6)= -1/2; г)tgП/3=√3. 2. Вычислите а) arcsin(-√2/2); б)arccos1/2; в) arcsin1/2; г) arctg(-1). 3.Найдите значения выражения.а) arccos(-√3/2)-arctg√3-arcctg(-1/√3); б) tg(arccos√3/2);в)2arcsin(-√3/2)+2arctg√3-3arccos(-1/2). 4.Оцените значения выражения : 3arcsinb+П/6. 5. найдите область определения выражения: а)arccos(8x+1); б)arcsin(7-П/2)

Ниже подробные решения по шагам по всем пунктам. Поскольку цель задаёт “Понять”, я объясняю каждую операцию. 1) Проверочные значения тригонометрических функций а) cos(π/4) = √2/2 — верно. Обоснование: на единичной окружности угол π/4 соответствует координате x = cos(π/4) = √2/2. б) sin(π/3) = √3/2 — верно. Обоснование: на единичной окружности sin(π/3) = √3/2. в) sin(-π/6) = -1/2 — верно. Обоснование: sin(-α) = -sin α; sin(π/6) = 1/2, значит sin(-π/6) = -1/2. г) tan(π/3) = √3 — верно. Обоснование: tan(π/3) = sin(π/3)/cos(π/3) = (√3/2)/(1/2) = √3. 2) Вычисление arcsin, arccos, arctan а) arcsin(-√2/2) = -π/4 Обоснование: arcsin возвращает угол в диапазоне [-π/2, π/2], где синус равен -√2/2 при θ = -π/4. б) arccos(1/2) = π/3 Обоснование: cos(π/3) = 1/2, диапазон arccos: [0, π]. в) arcsin(1/2) = π/6 Обоснование: sin(π/6) = 1/2, диапазон arcsin: [-π/2, π/2]. г) arctan(-1) = -π/4 Обоснование: arctan принимает значения в (-π/2, π/2); tan(-π/4) = -1. 3) Найдите значения выражений а) arccos(-√3/2) − arctg(√3) − arcctg(-1/√3) - arccos(-√3/2) = 5π/6 (cos 5π/6 = -√3/2). - arctg(√3) = π/3. - arcctg(-1/√3) = 2π/3 (arccot принимает значения в (0, π); cot(2π/3) = -1/√3). Итого: 5π/6 − π/3 − 2π/3 = 5π/6 − π = -π/6. Ответ: -π/6. б) tan(arccos(√3/2)) - Пусть θ = arccos(√3/2). Тогда cos θ = √3/2 и θ = π/6 (из [0, π]). - sin θ = 1/2, tan θ = sin θ / cos θ = (1/2) / (√3/2) = 1/√3. Ответ: 1/√3. в) 2 arcsin(-√3/2) + 2 arctg(√3) − 3 arccos(-1/2) - arcsin(-√3/2) = -π/3, значит 2·arcsin(...) = -2π/3. - arctg(√3) = π/3, значит 2·arctg(...) = 2π/3. - arccos(-1/2) = 2π/3, значит 3·arccos(...) = 2π. Итого: -2π/3 + 2π/3 − 2π = -2π. Ответ: -2π. 4) Оцените значения выражения: 3 arcsin(b) + π/6 - arcsin(b) определён при b ∈ [-1, 1] и находится в диапазоне [-π/2, π/2]. - Следовательно 3 arcsin(b) ∈ [-3π/2, 3π/2]. - Добавляя π/6 получаем диапазон: [-3π/2 + π/6, 3π/2 + π/6] = [-4π/3, 5π/3]. Ответ: диапазон значений равен [-4π/3, 5π/3], при b ∈ [-1, 1]. 5) Найдите область определения выражения а) arccos(8x + 1) - Чтобы arccos был определён на вещественных числах, аргумент должен лежать в [-1, 1]. - 8x + 1 ∈ [-1, 1] → -2 ≤ 8x ≤ 0 → x ∈ [-1/4, 0]. Ответ: x ∈ [-1/4, 0]. б) arcsin(7 − π/2) - Аргумент arcsin должен быть в [-1, 1]. - 7 − π/2 ≈ 7 − 1.5708 ≈ 5.4292, что не принадлежит [-1, 1]. - Следовательно, выражение не определено на множестве вещественных чисел (область определения пустая). Ответ: область определения пустая (нет вещественных значений аргумента). Если нужно, могу привести дополнительные пояснения или оформить ответы под конкретный формат вашего учителя.