1. выполните задание : а) cosП/4=√2/2; б) sinП/3=√3/2 ; в) sin(-П/6)= -1/2; г)tgП/3=√3. 2. Вычислите а) arcsin(-√2/2); б)arccos1/2; в) arcsin1/2; г) arctg(-1). 3.Найдите значения…

Ниже подробные решения по шагам по всем пунктам. Поскольку цель задаёт “Понять”, я объясняю каждую операцию.

1. Проверочные значения тригонометрических функций а) cos(π/4) = √2/2 — верно. Обоснование: на единичной окружности угол π/4 соответствует координате x = cos(π/4) = √2/2.

б) sin(π/3) = √3/2 — верно. Обоснование: на единичной окружности sin(π/3) = √3/2.

в) sin(-π/6) = -1/2 — верно. Обоснование: sin(-α) = -sin α; sin(π/6) = 1/2, значит sin(-π/6) = -1/2.

г) tan(π/3) = √3 — верно. Обоснование: tan(π/3) = sin(π/3)/cos(π/3) = (√3/2)/(1/2) = √3.

2. Вычисление arcsin, arccos, arctan а) arcsin(-√2/2) = -π/4 Обоснование: arcsin возвращает угол в диапазоне [-π/2, π/2], где синус равен -√2/2 при θ = -π/4.

б) arccos(1/2) = π/3 Обоснование: cos(π/3) = 1/2, диапазон arccos: [0, π].

в) arcsin(1/2) = π/6 Обоснование: sin(π/6) = 1/2, диапазон arcsin: [-π/2, π/2].

г) arctan(-1) = -π/4 Обоснование: arctan принимает значения в (-π/2, π/2); tan(-π/4) = -1.

3. Найдите значения выражений а) arccos(-√3/2) − arctg(√3) − arcctg(-1/√3)

• arccos(-√3/2) = 5π/6 (cos 5π/6 = -√3/2).
• arctg(√3) = π/3.
• arcctg(-1/√3) = 2π/3 (arccot принимает значения в (0, π); cot(2π/3) = -1/√3).

Итого: 5π/6 − π/3 − 2π/3 = 5π/6 − π = -π/6.

Ответ: -π/6.

б) tan(arccos(√3/2))

• Пусть θ = arccos(√3/2). Тогда cos θ = √3/2 и θ = π/6 (из [0, π]).
• sin θ = 1/2, tan θ = sin θ / cos θ = (1/2) / (√3/2) = 1/√3.

Ответ: 1/√3.

в) 2 arcsin(-√3/2) + 2 arctg(√3) − 3 arccos(-1/2)

• arcsin(-√3/2) = -π/3, значит 2·arcsin(...) = -2π/3.
• arctg(√3) = π/3, значит 2·arctg(...) = 2π/3.
• arccos(-1/2) = 2π/3, значит 3·arccos(...) = 2π.

Итого: -2π/3 + 2π/3 − 2π = -2π.

Ответ: -2π.

4. Оцените значения выражения: 3 arcsin(b) + π/6

• arcsin(b) определён при b ∈ [-1, 1] и находится в диапазоне [-π/2, π/2].
• Следовательно 3 arcsin(b) ∈ [-3π/2, 3π/2].
• Добавляя π/6 получаем диапазон: [-3π/2 + π/6, 3π/2 + π/6] = [-4π/3, 5π/3].

Ответ: диапазон значений равен [-4π/3, 5π/3], при b ∈ [-1, 1].

5. Найдите область определения выражения а) arccos(8x + 1)

• Чтобы arccos был определён на вещественных числах, аргумент должен лежать в [-1, 1].
• 8x + 1 ∈ [-1, 1] → -2 ≤ 8x ≤ 0 → x ∈ [-1/4, 0].

Ответ: x ∈ [-1/4, 0].

б) arcsin(7 − π/2)

• Аргумент arcsin должен быть в [-1, 1].
• 7 − π/2 ≈ 7 − 1.5708 ≈ 5.4292, что не принадлежит [-1, 1].
• Следовательно, выражение не определено на множестве вещественных чисел (область определения пустая).

Ответ: область определения пустая (нет вещественных значений аргумента).

Если нужно, могу привести дополнительные пояснения или оформить ответы под конкретный формат вашего учителя.