sin 2 x × cos x- 2 sin x = 0
Задача: sin(2x) · cos x − 2 sin x = 0 Цель: понять подробно решение (уровень 10 класса, алгебра/тригонометрия).
Пошаговое решение:
Применим тригонометрическую тождество sin(2x) = 2 sin x cos x. sin(2x) · cos x = (2 sin x cos x) · cos x = 2 sin x cos^2 x.
Запишем уравнение полностью: 2 sin x cos^2 x − 2 sin x = 0.
Выразим общий множитель: 2 sin x (cos^2 x − 1) = 0.
Равенство произведения нулю требует, чтобы либо первый множитель равнялся нулю, либо второй:
- sin x = 0, или
- cos^2 x − 1 = 0.
Разберём второй вариант cos^2 x − 1 = 0: cos^2 x = 1 → cos x = ±1 → x = kπ, где k — целое число.
Первый вариант sin x = 0: sin x = 0 → x = kπ, где k — целое число.
Итого, оба варианта дают одно и то же множитель: x = kπ, k ∈ Z.
Дополнительная проверка:
- Можно переписать исходное уравнение как 2 sin x (cos^2 x − 1) = −2 sin^3 x, тогда −2 sin^3 x = 0 → sin x = 0, что даёт тот же результат.
Ответ: Общее решение: x = kπ, где k ∈ Z. Если требуется в интервале [0, 2π): x = 0 и π (а также можно рассмотреть 2π, но он обычно не включают в [0, 2π)).
