реши все задания

Ниже решения всех заданий, которые видны на изображении. Я даю пошаговые выводы и ответы.

A2. Круг разбит на одинаковые сектора. В круге выбирают одну случайную точку. Найдите вероятность того, что точка принадлежит закрашенному сектору.

• Пусть в круге разрезано N равных секторов, и закрашено k из них. Тогда вероятность принадлежности точки закрашенному сектору равна k/N.
• На рисунках видно по две вариации (один и два закрашенных сектора на круге, по 6 секторов в круге):
  • левая фигура: закрашен 1 сектор → P = 1/6.
  • правая фигура: закрашено 2 сектора → P = 2/6 = 1/3.
• Ответ: левая окружность — 1/6; правая окружность — 1/3.

A3. a) В правильном шестигольнике ABCDEF с центром O выбирают одну случайную точку. Сделайте рисунок и найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику COD.

• В правильном шестигольнике центром O соединяем с вершинами, получаем 6 равных треугольников (O, каждая пара соседних вершин). Треугольник COD состоит из O и двух соседних вершин C и D, то есть это один из шести равных треугольников.
• Поэтому площадь треугольника COD равна 1/6 площади шестиугольника.
• Вероятность принадлежности случайной точки внутри шестигольника треугольнику COD: P = 1/6.
• Ответ: 1/6.

A7. В прямоугольнике случайным образом выбирается точка. Сделайте рисунок и найдите вероятность события: a) точка принадлежит ромбу с вершинами в серединах сторон прямоугольника.

• Пусть ширина прямоугольника равна W, высота H. Ромб, вершины которого — середины сторон, имеет диагонали W и H. Площадь ромба равна (W·H)/2.
• Площадь всего прямоугольника равна W·H.
• Вероятность принадлежности точки ромбу: P = (WH/2) / (WH) = 1/2.
• Ответ: 1/2. (Примечание: часть b на изображении не чтable; решение для части a приведено выше.)

B2. a) Точка M делит сторону AC треугольника ABC в отношении 2:1, считая от точки A. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в треугольнике ABC точка принадлежит треугольнику BMC.

• M лежит на AC так, что AM:MC = 2:1. Относительно основания BC треугольник BMC имеет высоту равную высоте треугольника ABC умноженную на отношение MC/AC = 1/3 (линейная зависимость высоты от положения точки на AC).
• Площадь треугольника BMC равна (1/3) площади треугольника ABC. Следовательно, вероятность того, что случайная точка в треугольнике ABC попадёт в BMC, равна 1/3.
• Ответ: 1/3.

B2. b) Точки K, L, M — середины сторон треугольника ABC. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в треугольнике ABC точка принадлежит треугольнику KLM.

• Треугольник KLM — серединевая (медиальный) треугольник, образованный соединением середин сторон ABC. Его площадь равна 1/4 площади всего треугольника ABC.
• Следовательно, вероятность: P = 1/4.
• Ответ: 1/4.

B5. a) В квадрате со стороной 1 случайным образом выбирают точку. Найдите вероятность того, что выбранная точка принадлежит внутреннему квадрату (обозначенному на рисунке) с расстояниями до сторон по 1/6.

• Внешний квадрат стороны = 1. Внутренний квадрат удалён от каждого ребра на 1/6, значит его сторона s = 1 − 2·(1/6) = 1 − 1/3 = 2/3.
• Площадь внешнего квадрата = 1. Площадь внутреннего квадрата = s^2 = (2/3)^2 = 4/9.
• Вероятность: P = 4/9.
• Ответ: 4/9.

B5. b) В квадрате со стороной 1 внутри другого квадрата/прямоугольника расположен внутренний прямоугольник с горизонтальными и вертикальными расстояниями до сторон равными заданным величинам. По рисунку горизонтальные margins = 1/4, вертикальные margins = 1/8.

• Ширина внутреннего прямоугольника: 1 − 2·(1/4) = 1/2.
• Высота внутреннего прямоугольника: 1 − 2·(1/8) = 3/4.
• Площадь внутреннего прямоугольника = (1/2) · (3/4) = 3/8.
• Вероятность: P = 3/8.
• Ответ: 3/8.

B10. На числовом отрезке [2; 7] случайным образом выбирают отрезок [a; b] длины 1.

• Поскольку длина равна 1, b = a + 1. Чтобы отрезок лежал в [2, 7], требуется a ∈ [2, 6].
• Распределение по a равномерное на [2, 6].
• a) Вероятность того, что a < 4: длина интервала [2,4) делённая на длину [2,6] → (4 − 2) / (6 − 2) = 2/4 = 1/2.
• b) Вероятность того, что b < 4. Так как b = a + 1, условие b < 4 эквивалентно a < 3. Тогда вероятность: (3 − 2) / (6 − 2) = 1/4.
• Ответ: a) 1/2, b) 1/4.

Если нужно, могу дополнительно проверить конкретно некоторые задания по вашему учебнику (там могут быть небольшие вариации формулировок). Также можно развернуть любое решение подробнее или привести общую методику для подобных задач.