дан параллелограмм ABCD докажите что вектор xa + вектор XC = вектор xb + вектор XD где x произвольная точка плоскости
Задача верна: в параллелограмме ABCD для любой точки X на плоскости выполнено XA + XC = XB + XD, где XA значит вектор от X к A, и т.д.
Пошаговое доказательство:
Обозначим положения точек через векторы относительно произвольного начала координат O: A = a, B = b, C = c, D = d, X = x. Тогда векторы XA, XC, XB, XD равны respectively: XA = a − x, XC = c − x, XB = b − x, XD = d − x.
Просуммируем слева и справа: XA + XC = (a − x) + (c − x) = a + c − 2x, XB + XD = (b − x) + (d − x) = b + d − 2x.
Свойство параллелограмма: диагонали ACM и BDM пересекаются в середине, следовательно векторы сумм точек противоположных вершин удовлетворяют a + c = b + d.
Подставляя это в выражения из шага 2, получаем: XA + XC = a + c − 2x = b + d − 2x = XB + XD.
Значит, для любой произвольной точки X равенство выполняется.
Дополнительная интуиция: Пусть M — середина диагоналей AC и BD (центр параллелограмма). Тогда XA + XC = (A − X) + (C − X) = (A + C) − 2X = 2(M − X) = XB + XD. Поэтому сумма векторов XA и XC одинакова с суммой XB и XD и равна 2XM. Это дополнительно объясняет независимость от положения X.
