дан параллелограмм ABCD докажите что вектор xa + вектор XC = вектору xb + вектор XD где x произвольная точка плоскости

Цель: Понять и подробно доказать.

Условия: ABCD — параллелограмм. X — произвольная точка плоскости. Нужно доказать: vector XA + vector XC = vector XB + vector XD.

Решение

1. Векторная запись любых векторов из X в точку Y: \overrightarrow{XY} = \vec{Y} - \vec{X}, где \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}, \vec{X} — это векторы позиций точек A, B, C, D и X относительно произвольного фиксированного начала.

2. Выразим суммы для пары точек: \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = ( \vec{A} - \vec{X} ) + ( \vec{C} - \vec{X} ) = \vec{A} + \vec{C} - 2\vec{X}, \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD} = ( \vec{B} - \vec{X} ) + ( \vec{D} - \vec{X} ) = \vec{B} + \vec{D} - 2\vec{X}.

3. Чтобы доказать равенство, достаточно показать, что \vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}.

4. Свойство параллелограмма: diagonals AC и BD пересекаются в их середине. Пусть M — точка пересечения диагоналей. Тогда AM = CM и BM = DM. Векторно это означает: ( \vec{A} + \vec{C} ) / 2 = ( \vec{B} + \vec{D} ) / 2, отсюда \vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}.

5. Подстановка в пункте 2 дает: \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XC} = (\vec{A} + \vec{C}) - 2\vec{X} = (\vec{B} + \vec{D}) - 2\vec{X} = \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XD}.

Следовательно, для любого X на плоскости верно: vector XA + vector XC = vector XB + vector XD.

Комментарий:

• Доказательство можно записать и без явного введения координат: в параллелограмме сумма векторов координат вершин A и C равна сумме координат вершин B и D, т. е. \vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}. Это и эквивалентная характеристика того, что диагонали параллелограмма пересекаются в общей середине.
• Аналогично равенство справедливо для любого квадрата или параллелограмма, т. е. это следствие того же свойства диагоналей.