Найти все корни уравнения,через графики

Вот как решить каждое уравнение через график y = sin x на отрезке [0, 3π].

Идея: построить график y = sin x и горизонтальные линии y = a, где a — правая часть уравнения (например, a = √3/2). Точки пересечения графика дают корни в заданном интервале.

Общие формулы (для справки): если sin x = a и |a| ≤ 1, то корни в рамках одного периода 2π задаются как

• x = arcsin(a) + 2πk, или
• x = π − arcsin(a) + 2πk, где k — целое число.

Теперь конкретно:

1. sin x = √3/2 на [0, 3π]

• arcsin(√3/2) = π/3.
• Второй корень в первом периоде: π − π/3 = 2π/3.
• Добавляем период 2π: x = π/3 + 2πk и x = 2π/3 + 2πk.
• В интервале [0, 3π] получаем: x = π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3.

Итого корни: π/3, 2π/3, 7π/3, 8π/3.

2. sin x = √2/2 на [0, 3π]

• arcsin(√2/2) = π/4.
• Второй корень: π − π/4 = 3π/4.
• Добавляем период 2π: x = π/4 + 2πk и x = 3π/4 + 2πk.
• В интервале [0, 3π] имеем: x = π/4, 3π/4, 9π/4, 11π/4.

Итого корни: π/4, 3π/4, 9π/4, 11π/4.

3. sin x = −√2/2 на [0, 3π]

• Значение −√2/2 даёт углы в III и IV квадрантах: x = 5π/4 и x = 7π/4 в пределах [0, 2π].
• Добавлять можно по +2π, но в диапазоне [0, 3π] только эти два.
• Корни: 5π/4, 7π/4.

Итого корни: 5π/4, 7π/4.

4. sin x = −√3/2 на [0, 3π]

• В этом случае углы в III и IV квадрантах: x = 4π/3 и x = 5π/3 в пределах [0, 2π].
• Добавлять по +2π даёт > 3π для следующих, поэтому остаются только эти два.
• Корни: 4π/3, 5π/3.

Итого корни: 4π/3, 5π/3.

Кратко по графике:

• Для каждого уравнения проводите горизонтальную линию y = a на графике y = sin x.
• Искать пересечения в диапазоне от 0 до 3π — это ваши корни.
• В случае синуса значения повторяются каждые 2π, поэтому добавляйте или вычитайте 2π, чтобы попасть в интервал [0, 3π].

Если нужно, могу нарисовать схематичную подсказку графика или привести значения в градусах.