построить график функции y=x²+4x+1

Вот подробное решение и план построения графика функции y = x^2 + 4x + 1.

1. Перепишем в вершинную форму (помогает увидеть вершину параболы)

• x^2 + 4x + 1 можно дописать так: x^2 + 4x + 4 - 4 + 1 = (x + 2)^2 - 3.
• Значит: y = (x + 2)^2 - 3.

2. Координаты вершины и ось симметрии

• Вершина параболы: V(-2, -3).
• Ось симметрии: x = -2.
• Поскольку коэффициент при x^2 положительный (a = 1), парабола открывается вверх и имеет минимальное значение y_min = -3 на вершине.
• Диапазон значений: y ≥ -3.

3. Надо найти ключевые точки

• y-пересечение с осью y (при x = 0): y = 0^2 + 4·0 + 1 = 1, точка (0, 1).
• x-пересечения (корни): решаем x^2 + 4x + 1 = 0. Дискриминант Δ = 4^2 - 4·1·1 = 16 - 4 = 12. Корни: x = [-4 ± sqrt(12)]/2 = -2 ± sqrt(3). Приближённо: x ≈ -2 ± 1.732 → x ≈ -0.268 и x ≈ -3.732.
• Дополнительные точки (для наглядности заштриховать график):
  • x = -1: y = (-1)^2 + 4(-1) + 1 = 1 - 4 + 1 = -2 → (-1, -2)
  • x = -3: y = (-3)^2 + 4(-3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2 → (-3, -2)
  • x = -4: y = 16 - 16 + 1 = 1 → (-4, 1)
  • x = 1: y = 1 + 4 + 1 = 6 → (1, 6)

4. Таблица точек (для быстрой ручной постройки графика)

• x = -5 → y = 6
• x = -4 → y = 1
• x = -3 → y = -2
• x = -2 → y = -3 (вершина)
• x = -1 → y = -2
• x = 0 → y = 1
• x = 1 → y = 6

5. Как построить график

• Нарисуйте координатные оси.
• Отметьте вершину V(-2, -3) и проведите ось симметрии x = -2.
• Постройте минимальное значение на вершине: y ≥ -3.
• Отметьте точки пересечения с осями: (0, 1) и корни x ≈ -0.268 и -3.732.
• Соедините точки плавной параболой, которая открывается вверх, проходя через все указанные точки.
• Можно дополнительно отметить точки (-1, -2) и (-3, -2) для наглядности симметрии относительно x = -2.

Итоговые свойства графика

• Форма: парабола, открывающаяся вверх.
• Вершина: (-2, -3).
• Ось симметрии: x = -2.
• y-пересечение: (0, 1).
• x-пересечения: x ≈ -2 ± √3.
• Область значений (множество y): y ≥ -3.

Если хотите, могу привести график в виде набора точек для быстрой постройки на бумаге или сгенерировать CSV-таблицу точек для построения в программе.