Решите уравнение x³+2x²-x-2=0

Решение уравнения: x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0.

1. Поиск простых рациональных корней Возможные рациональные корни: ±1, ±2.

• Подставляем x = 1: 1^3 + 2·1^2 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0. Значит, x = 1 — корень.

2. Делющее разложение на произведение (деление многочлена на (x - 1)) Разделим x^3 + 2x^2 - x - 2 на (x - 1) (можно сделать синтетическим делением):

Коэффициенты: 1 | 2 | -1 | -2 Сносим 1 → умножаем на 1: 1; складываем: 2 + 1 = 3 3 * 1 = 3; складываем: -1 + 3 = 2 2 * 1 = 2; складываем: -2 + 2 = 0

Получаем остаток 0 и получаем многочлен-часть: x^2 + 3x + 2.

3. Факторизация квадратичного множителя x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).

Итак, полный разложение:

x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2).

4. Корни уравнения x = 1, x = -1, x = -2.

5. Проверка (по желанию) Подставим корни в исходное уравнение:

• f(1) = 0, f(-1) = 0, f(-2) = 0.

Дополнительно можно увидеть альтернативный путь через группировку: x^3 + 2x^2 - x - 2 = x^2(x+2) - 1(x+2) = (x^2 - 1)(x+2) = (x-1)(x+1)(x+2).