Задача: доказать BN = CM в прямоугольнике ABCD, где M и N лежат на стороне AD и BN и CM являются биссекторами углов в B и C соответственно (на рисунке это видно по обозначениям).
Пусть ABCD — прямоугольник с A(0,0), B(0,h), C(w,h), D(w,0). Пусть M,N лежат на AD, и BN бисектирует угол ABC (правая точка B), а CM бисекрет угла BCD (точка C). Для прямоугольника углы ABC и BCD равны 90°, значит BN и CM образуют с сторонами угла по 45°.
1) Координатный подход
- Угол при B: BN проходит через B(0,h) с углом 45° к BC и AB. Следовательно, BN имеет наклон -1 и уравнение y = h - x. Пересечение с AD (y = 0) даёт N(h, 0).
- Угол при C: CM проходит через C(w,h) под углом 45° к BC и CD влево вниз. Это линия с наклоном +1, уравнение y = x - w + h. Пересечение с AD (y = 0) даёт M(w - h, 0).
2) Длины BN и CM
- BN: расстояние между B(0,h) и N(h,0):
BN^2 = (h - 0)^2 + (0 - h)^2 = h^2 + h^2 = 2h^2,
BN = h√2.
- CM: расстояние между C(w,h) и M(w - h, 0):
CM^2 = (w - (w - h))^2 + (h - 0)^2 = h^2 + h^2 = 2h^2,
CM = h√2.
3) Вывод
BN = CM, так как оба равны h√2.
Замечание
Чтобы точки N и M действительно лежали на стороне AD, требуется w ≥ h (ширина прямоугольника не меньше его высоты). На рисунке это условие выполняется, поэтому результат BN = CM верен.
