Докажи что BN=CM знаниями 8 класса

Задача: доказать BN = CM для прямоугольника ABCD, если точки M и N лежат на стороне AD так, что AM = ND (на рисунке M ближе к A, N ближе к D).

Способ 1. Координатный (пошаговый)

• Пусть A = (0, 0), D = (d, 0), B = (0, h), C = (d, h). Тогда AD — горизонтальная сторона, BC — верхняя сторона, прямоугольникABC D.
• Пусть M = (m, 0) и N = (n, 0) на стороне AD. По условию AM = ND. Это значит, что m = d − n.
• Найдём BN и CM по формуле расстояния между точками.
  • BN — расстояние между B(0, h) и N(n, 0): BN^2 = (n − 0)^2 + (0 − h)^2 = n^2 + h^2.
  • CM — расстояние между C(d, h) и M(m, 0): CM^2 = (d − m)^2 + (h − 0)^2 = (d − m)^2 + h^2.
• Так как m = d − n, имеем d − m = d − (d − n) = n. Значит CM^2 = n^2 + h^2.
• Получаем BN^2 = CM^2, следовательно BN = CM (отрезки BN и CM неотрицательные).

Итак, BN = CM.

Способ 2. Геометрическая симметрия (если AM = ND)

• Прямоугольник имеет ось симметрии по вертикали через середину AD. Эта ось отображает A ↔ D и B ↔ C.
• При условии AM = ND точки M и N симметричны относительно этой оси: их зеркальные изображения друг друга.
• Отражение сохраняет длины отрезков, поэтому BN отражается в CM. Значит BN = CM.

Замечание

• В общем BN = CM эквивалентно условию AM = ND ( BN^2 = x2^2 + h^2 и CM^2 = (d − x1)^2 + h^2, где x1 = AM, x2 = ND; BN = CM при x2 = d − x1). Поэтому без дополнительного условия AM = ND равенство может быть неверным. Но при AM = ND доказано двумя способами выше.