x+2=|x|; реши уравнение двумя способами

Задача: x + 2 = |x|. Решим двумя способами.

Ответ: x = -1.

Способ 1. Разбиение по знаку x (пользуемся определением модуля)

1. По определению |x| существует два случая:
   • если x ≥ 0, то |x| = x. Тогда уравнение становится x + 2 = x, что даёт 2 = 0 — противоречие. Значит решений в этой ветке нет.
   • если x < 0, то |x| = −x. Тогда уравнение становится x + 2 = −x, то 2x = −2 и x = −1.
2. Проверяем: x = −1 действительно < 0, подстановкой: −1 + 2 = 1 и |−1| = 1. Уравнение верно.

Итого: единственное решение x = −1.

Способ 2. Условия неотрицательности и возведение в квадрат (через неотрицательность обеих сторон)

1. Так как правой части у нас |x| ≥ 0, левая сторона x + 2 также должна быть неотрицательной: x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ −2.
2. При x ≥ −2 обе стороны неотрицательны, значит можно возвести обе стороны в квадрат без extraneous корней: (x + 2)^2 = x^2.
3. Раскрываем скобки: x^2 + 4x + 4 = x^2. Упрощаем: 4x + 4 = 0 ⇒ x = −1.
4. Проверяем: x = −1 удовлетворяет условию x ≥ −2 и исходному уравнению: −1 + 2 = 1, |−1| = 1. Совпадает.

Итого: решение x = −1.

Дополнительная заметка:

• Можно также графически представить уравнение как пересечение графиков y = x + 2 и y = |x|; их единственная точка пересечения даёт x = −1.