f(x)=2x-1/2x+1

Задача: f(x) = (2x − 1) / (2x + 1)

Пошаговое разложение и основные свойства

1. Область определения

• Чтобы дробь была определена, знаменатель не должен равняться нулю.
• 2x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1/2. -obласть: all real x, кроме x = −1/2.

2. Вертикальная и горизонтальная асимптоты

• Вертикальная асимптота: x = −1/2 (при приближении к этому значению дробь растёт без ограничений).
• Горизонтальная асимптота: так как степени числителя и знаменателя равны (оба линейные), горизонтальная асимптота y = коэффициент(числителя) / коэффициент(знаменателя) = 2/2 = 1.
• Значит, f(x) стремится к 1 при x → ±∞.

3. Пересечения с осями

• Пересечение с осью y (y-координата при x = 0): f(0) = (−1) / (1) = −1 → точка (0, −1).
• Пересечение с осью x (когда f(x) = 0): 2x − 1 = 0 → x = 1/2. Значит, точка (1/2, 0).

4. Производная и монотонность

• Найдём производную: f(x) = (2x − 1)/(2x + 1) f'(x) = [2(2x + 1) − (2x − 1)·2] / (2x + 1)^2 = (4x + 2 − 4x + 2) / (2x + 1)^2 = 4 / (2x + 1)^2.
• Поскольку (2x + 1)^2 > 0 для всех x ≠ −1/2, получаем f'(x) > 0 на обеих отрезках области определения.
• Значит, функция строго возрастает на каждом из интервалов (−∞, −1/2) и (−1/2, ∞).

5. Область значений (множество значений функции)

• Решим уравнение f(x) = y по x: y = (2x − 1)/(2x + 1) y(2x + 1) = 2x − 1 2xy + y = 2x − 1 2xy − 2x = −1 − y x(2y − 2) = −(1 + y) x = −(1 + y) / [2(y − 1)]
• Чтобы найти возможное y, нужно чтобы выражение было определено, т.е. y ≠ 1.
• Следовательно, диапазон функции: y ∈ R, y ≠ 1.

6. Обратная функция

• Из предыдущего шага выражаем x через y и присваиваем обратной функции вид f^{-1}(y) = −(1 + y) / [2(y − 1)].
• Замена переменной y на x даёт: f^{-1}(x) = −(1 + x) / [2(x − 1)], при x ≠ 1.
• Проверка: f^{-1}(f(x)) = x для x ≠ −1/2, и f(f^{-1}(x)) = x для x ≠ 1.

7. Короткое резюме основных свойств

• Область определения: x ∈ R, x ≠ −1/2.
• Область значений: y ∈ R, y ≠ 1.
• Вертикальная асимптота: x = −1/2.
• Горизонтальная асимптота: y = 1.
• Пересечения: з осью x в x = 1/2; з осью y в y = −1.
• Производная: f'(x) = 4/(2x + 1)^2 > 0 при x ≠ −1/2 → функция возрастает на обоих промежутках, где она определена.
• Обратная функция: f^{-1}(x) = −(1 + x) / [2(x − 1)], определена при x ≠ 1.

Примеры применения

• Найти f(2): f(2) = (2·2 − 1) / (2·2 + 1) = (4 − 1) / (4 + 1) = 3/5 = 0.6.
• Найти f(−0.4) (то есть x = −2/5, чтобы подчеркнуть домен): f(−0.4) = (−0.8 − 1) / (−0.8 + 1) = (−1.8) / (0.2) = −9.
• Найти x для заданного y, скажем y = 0: x = −(1 + 0) / [2(0 − 1)] = −1 / (−2) = 1/2, согласуется с x-intercept.

Если хочешь, могу адаптировать объяснение под конкретный уровень (например, для класса), или разобрать конкретную задачу: найти обратную функцию для другого примера, решить уравнение f(x) = some value, построить график и т. д.