7a² - 5 / (a + 8)(a - 9)(a + 17)

Задача: (7a^2 - 5) / [(a+8)(a-9)(a+17)] Цель: понять и разобрать на простые дроби. Пошаговое решение (разложение на частные дроби) 1) Предположим разложение (7a^2 - 5)/[(a+8)(a-9)(a+17)] = A/(a+8) + B/(a-9) + C/(a+17), где A, B, C – константы. 2) Приведем к общему знаменателю: 7a^2 - 5 = A(a-9)(a+17) + B(a+8)(a+17) + C(a+8)(a-9). 3) Решение можно получить двумя способами. Наиболее быстро — подстановка удобных значений a, чтобы "заглушить" нужные множители. - Подстановка a = 9: 7(9)^2 - 5 = B(9+8)(9+17) = B · 17 · 26 = 442B. Левое: 7·81 - 5 = 567 - 5 = 562. Значит B = 562/442 = 281/221. - Подстановка a = -8: 7(-8)^2 - 5 = A(-8-9)(-8+17) = A · (-17) · 9 = -153A. Левое: 7·64 - 5 = 448 - 5 = 443. Значит A = -443/153. - Подстановка a = -17: 7(-17)^2 - 5 = C(-17+8)(-17-9) = C · (-9) · (-26) = 234C. Левое: 7·289 - 5 = 2023 - 5 = 2018. Значит C = 2018/234 = 1009/117. 4) Итоговое разложение на частные дроби: (7a^2 - 5)/[(a+8)(a-9)(a+17)] = (-443/153)/(a+8) + (281/221)/(a-9) + (1009/117)/(a+17). Можно записать так же в виде: -443/(153(a+8)) + 281/(221(a-9)) + 1009/(117(a+17)). 5) Погрешности и область допустимых значений: - Разложение верно для всех a, кроме a = -8, a = 9, a = -17 (где знаменатель обнуляется). 6) Быстрая проверка (по коэффициентам): Если раскрыть правую часть и привести к общему знаменателю, получится левая одна и та же полином-числитель 7a^2 - 5, так что разложение корректно. Если хочешь, могу ALSO привести решение через систему линейных уравнений для A, B, C и проверить каждую строку детально.