через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС эта прямая пересекает сторону АС в точке N . Докажите что AN=NC дано, рисунок и…
Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС эта прямая пересекает сторону АС в точке N . Докажите что AN=NC дано, рисунок и доказательство
Задача: в треугольнике ABC точку M взять как середину стороны AB. Через M провести прямую MN, параллельную стороне BC, которая пересекает сторону AC в точке N. Доказать, что AN = NC.
Пошаговое решение:
- Заметим, что MN ∥ BC. Поэтому углы, образованные MN с сторонами AB и AC, соответствуют углам треугольника ABC:
- ∠MAN = ∠CAB (у нас общий угол A и MN параллельна BC, поэтому направление MA совпадает с AB, AN — с AC);
- ∠AMN = ∠ABC (AM лежит на AB, MN параллельна BC);
- ∠ANM = ∠ACB (аналогично).
Это даёт равенство треугольников AMN и ABC по двум углам (AA).
По правилам подобия треугольников AMN и ABC выполняется соотношение: AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Так как M — середина AB, имеем AM = AB/2. Тогда AM/AB = 1/2.
Из пункта 2 получаем AN/AC = AM/AB = 1/2. Значит AN = AC/2.
Остаток от AC после отнятия AN равен NC: NC = AC − AN = AC − AC/2 = AC/2. Значит AN = NC.
Вывод: N является серединой отрезка AC.
