решите квадратное уравнение x²-9>0

Задача: решить неравенство x^2 - 9 > 0.

Краткий ответ: x ∈ (-∞, -3) ∪ (3, ∞).

Пошаговое решение и объяснения:

1. Разложим на множители x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).

   Неравенство становится (x - 3)(x + 3) > 0.

2. Найдем критические точки Корни произведения: x = -3 и x = 3. Эти точки разделяют числовую ось на три интервала:

   • (-∞, -3)
   • (-3, 3)
   • (3, ∞)

3. Анализ знаков на интервалах

   • Возьмём тестовый пункт в каждом интервале:
     • x < -3, например x = -4: ( -4 - 3)( -4 + 3) = (-7)(-1) = 7 > 0
     • -3 < x < 3, например x = 0: (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) = -9 < 0
     • x > 3, например x = 4: (4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) = 7 > 0 Значит произведение положительно именно на первых и последних интервалах.

4. Запишем решение Из условия (x - 3)(x + 3) > 0 получаем x < -3 или x > 3.

Дополнительная заметка (для лучшего понимания):

• Можно записать как |x| > 3. Это эквивалентно тому же условию: либо x > 3, либо x < -3.
• Если бы было ≥ 0, то добавились бы точки x = -3 и x = 3, и решение стало бы (-∞, -3] ∪ [-3, 3] ∪ [3, ∞), т.е. весь промежуток, включая корни, который не имеет смысла для ≥ 0 в данном случае, поскольку на [-3,3] выражение x^2 - 9 ≤ 0 и только в границах x = ±3 равняется нулю. Но здесь у нас строгая > 0, поэтому точки ±3 исключаются.

Ответ: (-∞, -3) ∪ (3, ∞).