4x^4+3x^2-1=0

Задача: 4x^4 + 3x^2 − 1 = 0

Пошаговое решение (пояснения есть, чтобы понять метод).

1. Признак бикубтического/биquadratic уравнения

• В уравнении используются только квадраты степени (x^2 и x^4). Поэтому введём новую переменную: y = x^2. Тогда уравнение станет квадратичным по y: 4y^2 + 3y − 1 = 0.

2. Решение квадратного уравнения по y

• Можно раскладывать на множители: 4y^2 + 3y − 1 = (4y − 1)(y + 1).
• Откуда следует нули: 4y − 1 = 0 или y + 1 = 0.
• Значения y: y = 1/4 или y = −1.

3. Возвращаемся к x

• y = x^2, следовательно:
  • Если x^2 = 1/4, то x = ±1/2.
  • Если x^2 = −1, то это не имеет вещественных решений (для комплексных чисел x = i или x = −i).

4. Ответы

• На вещественных числах: x = −1/2 и x = 1/2.
• Полный набор комплексных корней: x = −1/2, x = 1/2, x = i, x = −i.

Проверка (по желанию):

• Для x = 1/2: 4(1/16) + 3(1/4) − 1 = 1/4 + 3/4 − 1 = 0.
• Для x = i: x^2 = −1, x^4 = 1, тогда 4·1 + 3·(−1) − 1 = 0.