К сожалению, на представленных изображениях текст не очень четкий, и мне трудно корректно распознать весь текст. Однако, я попробую напечатать то, что я вижу наиболее отчетливо. Если будут ошибки, пожалуйста, укажите на них, и я постараюсь исправить. Изображение 1: Глава 1, §1, Докажите, что предложения А и В равносильны. Сформулируйте критерий А ↔ В. а) А: Целые числа a и b дают одинаковые остатки при делении на натуральное число m. В: Разность двух целых чисел a и b делится на натуральное число m. б) А: Натуральные числа a и b взаимно просты. В: Наименьшее общее кратное натуральных чисел a и b равно произведению ab. в) А: Сумма цифр натурального числа n делится на 3. В: Натуральное число n делится на 3. г) А: Натуральное число n делится на 11. В: Сумма цифр натурального числа n, стоящих на чётных местах (считая от первой), отличается от суммы цифр, стоящих на нечётных местах, на число, делящееся на 11.

Ниже подробно разберу каждую пару утверждений A и B из задачи. Для каждой части дам формулировку критерия эквивалентности A ↔ B, затем докажу обе стороны (A ⇒ B и B ⇒ A) и приведу компактное пояснение. Поскольку цель — понять, всё сопровожу логическими соотношениями и примерами. Общие замечания - Критерий эквивалентности A ↔ B означает: A верно тогда и только тогда, когда верно B. - Части a) приводят к стандартной эквивалентности по модульности: A ⇔ B, где A = “a ≡ b (mod m)” и B = “m делит (a − b)”. Часть a) - A: целые числа a и b дают одинаковые остатки при делении на m. - B: разность a − b делится на m. - Критерий A ↔ B: A ⇔ B эквивалентно тому, что a ≡ b (mod m) тогда и только тогда, когда m | (a − b). Доказательство - A ⇒ B: если a и b дают одинаковые остатки, то можно записать a = qm + r и b = tm + r. Тогда a − b = (q − t)m, следовательно m | (a − b). - B ⇒ A: если m | (a − b), то a − b = km. Тогда a = b + km, и при делении на m остаток от a равен остатку от b. Значит a и b дают одинаковый остаток. - Вывод: A и B эквивалентны. Пример: возьмем a = 7, b = 2, m = 5. Остатки: 7 mod 5 = 2, 2 mod 5 = 2 → A истинно; 7 − 2 = 5 делится на 5 → B истинно. Часть б) - A: натуральные числа a и b взаимно просты (gcd(a,b) = 1). - B: наименьшее общее кратное натуральных чисел a и b равно произведению ab (lcm(a,b) = ab). - Критерий A ↔ B: A ⇔ B эквивалентно свойству lcm(a,b) · gcd(a,b) = ab; следовательно gcd(a,b) = 1 ⇔ lcm(a,b) = ab. Доказательство - Всегда верно: lcm(a,b) · gcd(a,b) = a b. - Если gcd(a,b) = 1, то lcm(a,b) = ab / gcd(a,b) = ab. - Обратно, если lcm(a,b) = ab, то gcd(a,b) = ab / lcm(a,b) = 1. - Вывод: A и B эквивалентны. Часть в) - A: сумма цифр натурального числа n делится на 3. - B: само число n делится на 3. - Критерий A ↔ B: A ⇔ B эквивалентно тому, что n ≡ сумма цифр (mod 3). Используем факт 10 ≡ 1 (mod 3), поэтому n и сумма цифр равны по модулю 3. Доказательство - Пусть n = d_k 10^k + d_{k-1} 10^{k-1} + … + d_0. Так как 10 ≡ 1 (mod 3), то 10^i ≡ 1 (mod 3) для всех i. Тогда n ≡ d_k + d_{k-1} + … + d_0 (mod 3) — то есть n и сумма цифр эквивалентны по модулю 3. - Следовательно 3 | n ⇔ 3 | сумма цифр n. - Вывод: A и B эквивалентны. Пример: n = 12345. Сумма цифр = 1+2+3+4+5 = 15, делится на 3; само число 12345 делится на 3 (12345 ÷ 3 = 4115). Часть г) - A: натуральное число n делится на 11. - B: сумма цифр на чётных местах (от счёта слева) отличается от суммы цифр на нечётных местах на число, делящееся на 11. То есть разность S_odd − S_even (или абсолютная разность) кратна 11. - Критерий A ↔ B: A ⇔ B эквивалентно классическому критерию делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность сумм цифр на нечетных и четных позициях кратна 11. Доказательство - Пусть цифры числа слева направо: d_1, d_2, ..., d_k (позиции считаем от начала). - Возьмём число N = d_1 10^{k-1} + d_2 10^{k-2} + … + d_k. - В модуле 11 известно, что 10 ≡ −1 (mod 11). Значит 10^{t} ≡ (−1)^{t} (mod 11). - Тогда N ≡ d_1(−1)^{k-1} + d_2(−1)^{k-2} + … + d_k(−1)^{0} (mod 11). - Это эквивалентно чередованию знаков при суммировании цифр: N ≡ (S_odd − S_even) (мод 11) или наоборот, в зависимости от того, как именно считаются позиции. В любом случае абсолютная или разность между суммами цифр на нечетных и четных позициях будет кратна 11 тогда и только тогда, когда N делится на 11. - Следовательно A и B эквивалентны. Пример: число 121. Позиции слева: 1(1-я), 2(2-я), 1(3-я). S_odd = 1 + 1 = 2, S_even = 2, разность = 0, кратна 11, значит число делится на 11 (и действительно 121 = 11×11). Дополнительно - Если вам нужна, могу привести короткие примеры на каждую часть с конкретными числами для наглядности. - Если заметите опечатку в вашем виде задачи, сообщите — скорректирую решение под правильный текст. Если хотите, могу также привести общую схему проверки эквивалентности в подобного типа задач и пару дополнительных примеров для тренировки.