К сожалению, на представленных изображениях текст не очень четкий, и мне трудно корректно распознать весь текст. Однако, я попробую напечатать то, что я вижу наиболее отчетливо.…

Ниже подробно разберу каждую пару утверждений A и B из задачи. Для каждой части дам формулировку критерия эквивалентности A ↔ B, затем докажу обе стороны (A ⇒ B и B ⇒ A) и приведу компактное пояснение. Поскольку цель — понять, всё сопровожу логическими соотношениями и примерами.

Общие замечания

• Критерий эквивалентности A ↔ B означает: A верно тогда и только тогда, когда верно B.
• Части a) приводят к стандартной эквивалентности по модульности: A ⇔ B, где A = “a ≡ b (mod m)” и B = “m делит (a − b)”.

Часть a)

• A: целые числа a и b дают одинаковые остатки при делении на m.
• B: разность a − b делится на m.
• Критерий A ↔ B: A ⇔ B эквивалентно тому, что a ≡ b (mod m) тогда и только тогда, когда m | (a − b).

Доказательство

• A ⇒ B: если a и b дают одинаковые остатки, то можно записать a = qm + r и b = tm + r. Тогда a − b = (q − t)m, следовательно m | (a − b).
• B ⇒ A: если m | (a − b), то a − b = km. Тогда a = b + km, и при делении на m остаток от a равен остатку от b. Значит a и b дают одинаковый остаток.
• Вывод: A и B эквивалентны.

Пример: возьмем a = 7, b = 2, m = 5. Остатки: 7 mod 5 = 2, 2 mod 5 = 2 → A истинно; 7 − 2 = 5 делится на 5 → B истинно.

Часть б)

• A: натуральные числа a и b взаимно просты (gcd(a,b) = 1).
• B: наименьшее общее кратное натуральных чисел a и b равно произведению ab (lcm(a,b) = ab).
• Критерий A ↔ B: A ⇔ B эквивалентно свойству lcm(a,b) · gcd(a,b) = ab; следовательно gcd(a,b) = 1 ⇔ lcm(a,b) = ab.

Доказательство

• Всегда верно: lcm(a,b) · gcd(a,b) = a b.
• Если gcd(a,b) = 1, то lcm(a,b) = ab / gcd(a,b) = ab.
• Обратно, если lcm(a,b) = ab, то gcd(a,b) = ab / lcm(a,b) = 1.
• Вывод: A и B эквивалентны.

Часть в)

• A: сумма цифр натурального числа n делится на 3.
• B: само число n делится на 3.
• Критерий A ↔ B: A ⇔ B эквивалентно тому, что n ≡ сумма цифр (mod 3). Используем факт 10 ≡ 1 (mod 3), поэтому n и сумма цифр равны по модулю 3.

Доказательство

• Пусть n = d_k 10^k + d_{k-1} 10^{k-1} + … + d_0. Так как 10 ≡ 1 (mod 3), то 10^i ≡ 1 (mod 3) для всех i. Тогда n ≡ d_k + d_{k-1} + … + d_0 (mod 3) — то есть n и сумма цифр эквивалентны по модулю 3.
• Следовательно 3 | n ⇔ 3 | сумма цифр n.
• Вывод: A и B эквивалентны.

Пример: n = 12345. Сумма цифр = 1+2+3+4+5 = 15, делится на 3; само число 12345 делится на 3 (12345 ÷ 3 = 4115).

Часть г)

• A: натуральное число n делится на 11.
• B: сумма цифр на чётных местах (от счёта слева) отличается от суммы цифр на нечётных местах на число, делящееся на 11. То есть разность S_odd − S_even (или абсолютная разность) кратна 11.
• Критерий A ↔ B: A ⇔ B эквивалентно классическому критерию делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность сумм цифр на нечетных и четных позициях кратна 11.

Доказательство

• Пусть цифры числа слева направо: d_1, d_2, ..., d_k (позиции считаем от начала).
• Возьмём число N = d_1 10^{k-1} + d_2 10^{k-2} + … + d_k.
• В модуле 11 известно, что 10 ≡ −1 (mod 11). Значит 10^{t} ≡ (−1)^{t} (mod 11).
• Тогда N ≡ d_1(−1)^{k-1} + d_2(−1)^{k-2} + … + d_k(−1)^{0} (mod 11).
• Это эквивалентно чередованию знаков при суммировании цифр: N ≡ (S_odd − S_even) (мод 11) или наоборот, в зависимости от того, как именно считаются позиции. В любом случае абсолютная или разность между суммами цифр на нечетных и четных позициях будет кратна 11 тогда и только тогда, когда N делится на 11.
• Следовательно A и B эквивалентны.

Пример: число 121. Позиции слева: 1(1-я), 2(2-я), 1(3-я). S_odd = 1 + 1 = 2, S_even = 2, разность = 0, кратна 11, значит число делится на 11 (и действительно 121 = 11×11).

Дополнительно

• Если вам нужна, могу привести короткие примеры на каждую часть с конкретными числами для наглядности.
• Если заметите опечатку в вашем виде задачи, сообщите — скорректирую решение под правильный текст.

Если хотите, могу также привести общую схему проверки эквивалентности в подобного типа задач и пару дополнительных примеров для тренировки.