x+√25-x²=7
Задача: x + sqrt(25 − x^2) = 7
Пошаговое решение для средней школы:
Учтем область определения: под корнем 25 − x^2 должно быть неотрицательно. 25 − x^2 ≥ 0 → −5 ≤ x ≤ 5.
Изолируем квадратный корень: sqrt(25 − x^2) = 7 − x. Так как корень неотрицателен, требуем 7 − x ≥ 0 → x ≤ 7 (это условие выполняется в пределах −5 ≤ x ≤ 5).
Возведём обе стороны в квадрат: 25 − x^2 = (7 − x)^2 = 49 − 14x + x^2.
Перенесём всё в одну сторону: 25 − x^2 − 49 + 14x − x^2 = 0 2x^2 − 14x + 24 = 0 x^2 − 7x + 12 = 0.
Решим квадратное уравнение: x^2 − 7x + 12 = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 или x = 4.
Проверим решения в исходном уравнении (чтобы не получить ложные из-за возведения в квадрат):
- Для x = 3: sqrt(25 − 9) = sqrt(16) = 4, 3 + 4 = 7 — верно.
- Для x = 4: sqrt(25 − 16) = sqrt(9) = 3, 4 + 3 = 7 — верно.
Ответ: x = 3 или x = 4.
Обсуждение
4 сообщенияможно только решение
Решение:
x = 3 или x = 4.
полностью
Хорошо, давай разберем решение уравнения полностью:
Дано уравнение: \[ x + \sqrt{25 - x^2} = 7 \]
Шаг 1: Изоляция корня
Изолируем корень: \[ \sqrt{25 - x^2} = 7 - x \]
Шаг 2: Условия на корень
Проверим условие: \[ 7 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 7 \] Также необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным: \[ 25 - x^2 \geq 0 \Rightarrow -5 \leq x \leq 5 \] Таким образом, область определения: \([-5, 5]\).
Шаг 3: Возведение в квадрат
Возводим обе стороны уравнения в квадрат: \[ 25 - x^2 = (7 - x)^2 \] \[ 25 - x^2 = 49 - 14x + x^2 \]
Шаг 4: Переносим все в одну сторону
Соберём все термины на одной стороне: \[ 25 - x^2 - 49 + 14x - x^2 = 0 \] \[ -2x^2 + 14x - 24 = 0 \] Умножим на -1 для удобства: \[ 2x^2 - 14x + 24 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Решаем уравнение с помощью факторизации: \[ (x - 3)(x - 4) = 0 \] Таким образом, \( x = 3 \) или \( x = 4 \).
Шаг 6: Проверка решений
Проверим найденные решения в исходном уравнении:
Для \( x = 3 \): \[ 3 + \sqrt{25 - 3^2} = 3 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \] (верно).
Для \( x = 4 \): \[ 4 + \sqrt{25 - 4^2} = 4 + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \] (верно).
Ответ
Таким образом, решения уравнения: \[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = 4 \]
