Сократить рациональную дробь 0,5х²-1,25х+1/0,25х+0,75

Задача: сократить рациональную дробь (0,5x^2 − 1,25x + 1) / (0,25x + 0,75).

Пошаговое решение

1. Очистим десятичные дроби, чтобы работать с целыми коэффициентами.

• Умножим числитель и знаменатель на 4 (это устраняет десятичные числа):
  • Числитель: 0,5x^2 · 4 = 2x^2; −1,25x · 4 = −5x; 1 · 4 = 4 → 2x^2 − 5x + 4
  • Знаменатель: 0,25x · 4 = x; 0,75 · 4 = 3 → x + 3

Получаем эквивалентную дробь: (2x^2 − 5x + 4) / (x + 3)

2. Найдём общий множитель (проверим возможность сокращения).

• Попробуем разделить числитель на (x + 3). Выполним деление: (2x^2 − 5x + 4) ÷ (x + 3)
  • Частное сначала 2x, тогда (2x)(x+3) = 2x^2 + 6x; вычитаем: (2x^2 − 5x) − (2x^2 + 6x) = −11x
  • Затем −11, так что (−11)(x+3) = −11x − 33; вычитаем: (−11x + 4) − (−11x − 33) = 37
  • Остаток 37 ≠ 0, значит (x + 3) не является делителем числителя.

Следовательно, дробь не сокращается дальше: gcd(2x^2 − 5x + 4, x + 3) = 1.

3. Итог

• Сокращённая форма дроби: (2x^2 − 5x + 4) / (x + 3), при условии x ≠ −3 (так как знаменатель не должен равняться нулю).
• Примечание: если нужно, можно разложить на частное и остаток: (2x^2 − 5x + 4)/(x+3) = 2x − 11 + 37/(x+3), но это не «сокращение», а другое представление.

Ответ: (2x^2 − 5x + 4) / (x + 3), x ≠ −3.