• Условие: Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN || AC.
Решение через симметрию (осевая симметрия равнобедренного треугольника)
Дано: треугольник ABC равнобедренный по бокам AB = BC. Окружность вписанная в треугольник касается AB в M и BC в N. Нужно доказать MN ∥ AC.
Ось симметрии. В равнобедренном треугольнике ось симметрии проходит через вершину B и перпендикулярна основанию AC; эта ось совпадает с BI, где I — центр вписанной окружности (инцентр). По свойству равнобедренного треугольника BI является биссектором угла B и медианой к основанию AC, следовательно BI ⟂ AC.
Симметрия вокруг BI. Поскольку AB = BC, при отражении по оси симметрии BI стороны AB и BC переходят друг в друга (A ↔ C). Вписанная окружность занумелена симметрично относительно BI, поэтому её центр I лежит на BI и отражение по BI переводит точку касания M на AB в точку касания N на BC (то есть отражение отправляет M в N).
Часть MN под действием отражения. Поскольку отражение BI превращает M в N, отрезок MN как множество точек остаётся отображённым на то же множество точек MN. Это возможно лишь если MN перпендикулярна оси BI (или MN совпадает с биcектрисой, что невозможно, так как M и N лежат на боковых сторонах, а не на BI).
Связь с основанием AC. Мы уже установили, что BI ⟂ AC. Из пункта 3 следует MN ⟂ BI. Следовательно MN ∥ AC.
Вывод: MN параллелен AC.
