Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM
Задача: Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM.
Решение (пошаговое, синтетическое):
Заметим, что в прямоугольнике ABCD противоположные стороны параллельны: AB ∥ CD и AB ∩ CD пусты.
Обозначим плоскость ABM как π1. Так как M не лежит в плоскости ABCD (обозначим её как π), то π1 ≠ π.
В плоскостях π и π1 есть общая прямая AB (AB лежит и в π, и в π1). Следовательно, их пересечение — это прямая AB. Поскольку две разные плоскости пересекаются по прямой, мы имеем π ∩ π1 = AB.
Пусть прямая CD intersects π1 в точке X. Тогда X ∈ CD ⊂ π и X ∈ π1, значит X ∈ π ∩ π1 = AB. Получаем X ∈ AB ∩ CD. Но в прямоугольнике AB ∩ CD пусто (AB и CD параллельны и не пересекаются). Противоречие. Следовательно CD не имеет ни одной точки в π1.
CD не лежит в плоскости ABM (иначе C и D бы лежали в ABM, тогда CD ⊂ ABM, а пересечение π ∩ ABM было бы больше AB, что невозможно, т.к. π ∩ ABM = AB). Так что CD не лежит в плоскости ABM и не пересекает её.
Значит, прямая CD не пересекает плоскость ABM и не лежит в ней. По определению, прямая параллельна плоскости ABM.
Итого: CD ∥ плоскости ABM.
Дополнительное замечание (быстрый координатный способ):
- Разместим ABCD в плоскости z = 0: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,b,0), D(0,b,0). Пусть M(x0,y0,z0) с z0 ≠ 0.
- Векторы: AB = (a,0,0), CD = D − C = (−a,0,0). Плоскость ABM имеет нормаль n = AB × AM, где AM = (x0,y0,z0). Посчитаем n = (0, −a z0, a y0).
- Проверим параллельность: CD · n = (−a,0,0) · (0, −a z0, a y0) = 0. Это означает, что CD перпендикулярна нормали плоскости ABM, следовательно CD параллельна плоскости ABM.
Ответ: CD параллельна плоскости ABM.
