операции над бинарными числами

Ниже подробное решение и объяснения по операциям над бинарными числами. Я буду держать примеры простыми и понятными, чтобы вы могли понять принцип, а затем применить его к своим задачам.

1. Базовые понятия

• Бинарная система счисления: основание 2. Разряды пронумерованы от младшего к старшему как 2^0, 2^1, 2^2 и т.д. Цифры могут быть только 0 или 1.
• Примеры: 1011_2 = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 1·2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 decimal.

2. Перевод между двоичной и десятичной системами (кратко)

• Двоичное в десятичное: сумму степеней двойки, соответствующих единицам. Пример: 10011100_2 = 1·2^7 + 0·2^6 + 0·2^5 + 1·2^4 + 1·2^3 + 1·2^2 + 0·2^1 + 0·2^0 = 128 + 16 + 8 + 4 = 156.
• Десятичное в двоичное: деление на 2, выписывать остатки снизу вверх. Пример: 156 ÷ 2 -> 78 остаток 0; 78 ÷ 2 -> 39 остаток 0; 39 ÷ 2 -> 19 остаток 1; и т.д. Получим 10011100_2.

3. Сложение бинарных чисел Правило: складываем как в десятичной системе, но учитываем только 0 и 1 и перенос.

• Правило переноса: 0+0=0 (перенос 0), 0+1=1 (перенос 0), 1+1=0 (перенос 1), 1+1+1=1 (перенос 1).
• Пример 1011_2 + 1101_2:
  1. 1 + 1 = 0, перенос 1
  2. 1 + 0 + перенос1 = 0, перенос 1
  3. 0 + 1 + перенос1 = 0, перенос 1
  4. 1 + 1 + перенос1 = 1, перенос 1
  5. Остался перенос 1: записываем слева Результат: 11000_2 (24 в десятичной).

4. Вычитание бинарных чисел Можно вычитать напрямую с заимствованием или через дополнение до двух (двойное complemento).

• Прямое вычитание (с заимствованием): Пример: 1011_2 - 0010_2
  1. 1 - 0 = 1
  2. 1 - 1 = 0
  3. 0 - 0 = 0
  4. 1 - 0 = 1 Результат: 1001_2.
• Пример через дополнение до двух (для отрицательных чисел): чтобы вычесть B, можно взять A + (не B + 1) и взять нужную ширину разрядности.

5. Умножение бинарных чисел Пример: 1011_2 (11) × 110_2 (6) = 1000010_2 (66)

• Разложение по разрядам множителя:
  • 1011 × 0 = 0000 (сдвиг не нужен)
  • 1011 × 1 = 1011, сдвиг на 1 разряд → 10110
  • 1011 × 1 = 1011, сдвиг на 2 разряда → 101100
• Сумма частичных результатов: 0000 10110 101100 = 1000010_2.

6. Деление бинарных чисел Деление можно рассматривать как «допоскольку подходит» аналог деления в десятичной системе, но в двоичной форме. Пример с простым результатом:

• Деление 1100_2 (12) на 0011_2 (3) даст частное 0100_2 (4) и остаток 0000_2. Обоснование: 3 × 4 = 12, остаток 0.
• Это демонстрирует идею деления: подбираем столько раз, сколько раз делится, затем вычитаем произведение и повторяем, пока остаток не станет меньше делителя.

7. Побитовые операции (AND, OR, XOR, NOT)

• AND (проверка на "обе единицы"): 1010 AND 1100 = 1000
• OR (обе единицы или одна): 1010 OR 1100 = 1110
• XOR (исключающее ИЛИ, 1, если ровно одна единица): 1010 XOR 1100 = 0110
• NOT (NOT меняет 0 на 1 и наоборот; для фиксированной ширины битов): NOT 1010 при 4-битной ширине = 0101

8. Сдвиги

• Левый сдвиг (умножение на 2): 1011 << 1 = 10110
• Правый сдвиг (деление на 2): 1011 >> 1 = 0101
• Примечание: для знаковых чисел в практике применяют арифметический сдвиг, чтобы сохранять знак.

9. Представление отрицательных чисел: двухлицевое дополнение (два байта, два's complement)

• Чтобы представить -5 в 8-битной системе:
  1. представить +5: 00000101
  2. инвертировать биты: 11111010
  3. прибавить 1: 11111011 Значит -5 = 11111011_2 (в 8 бит).
• Пример: 00001010 (10) и -3 в 8 битах: -3 = инверсия 00000011 -> 11111100; +1 -> 11111101. 1010 + (-3) = 7 (00000111).

10. Быстрые примеры для закрепления

• Сложение: 1011 + 1101 = 11000
• Вычитание: 1011 - 0010 = 1001
• Умножение: 1011 × 110 = 1000010
• Деление: 1100 ÷ 0011 = 0100 с остатком 0000
• AND/OR/XOR:
  • 1010 AND 1100 = 1000
  • 1010 OR 1100 = 1110
  • 1010 XOR 1100 = 0110
• Сдвиги:
  • 1011 << 1 = 10110
  • 1011 >> 1 = 0101
• Представление отрицательного числа: -5 в 8-битной системе = 11111011

11. Практические советы

• Всегда выравнивайте разряды в строках одинаковой длины (добавляйте ведущие нули).
• При ограниченной ширине слова помните о переполнении (carry/overflow): если после последнего переноса остаётся ненулевой carry, это переполнение для беззнаковых чисел.
• Для отрицательных чисел чаще используют дополнение до двух (two's complement), особенно в компьютерной арифметике.
• Удобно фиксировать ширину: например, работать с 8-битами или 4-битами для примеров, чтобы видеть NOT и сдвиги.

Если хотите, могу подобрать 5–10 задач на каждую операцию (сложение, вычитание, умножение, деление, побитовые операции) и пошагово разборать их с объяснениями. Также могу адаптировать стиль под ваш уровень класса и предмет, если скажете конкретные требования.