Докажите признаки ромба параллелограмм является ромбом если а его диагонали взаимно перпендикулярны б диагональ делит его угол пополам

Задача: показать, что параллелограмм ABCD является ромбом, если выполняются условия (a) диагонали перпендикулярны, или (b) диагональ делит угол пополам. Замечание: в любом параллелограмме диагонали пересекаются в их серединах. Обозначим векторы сторон: - AB = a - AD = d Тогда диагонали: AC = a + d и BD = d − a. Длина стороны AB равна |a|, AD равна |d|, а BC = AD = |d|, CD = AB = |a|. Часть (a): диагонали перпендикулярны. 1) Условие перпендикулярности диагоналей AC и BD можно записать как (a + d) ⟂ (d − a), то есть их скалярное произведение равно нулю: (a + d) · (d − a) = 0. 2) Раскрывая скалярное произведение: (a + d) · (d − a) = a·d − a·a + d·d − d·a = −|a|^2 + |d|^2. Значит −|a|^2 + |d|^2 = 0, отсюда |a|^2 = |d|^2, то есть |a| = |d|. 3) Следствие: AB = |a| и AD = |d| равны. В параллелограмме противоположные стороны равны: BC = AD = |d| и CD = AB = |a|. Отсюда AB = BC и остальные стороны тоже равны, т.е. все четыре стороны равны. Это и есть ромб. Итак, если диагонали параллелограмма перпендикулярны, параллелограмм является ромбом. Часть (b): диагональ делит угол пополам. 1) Предположим, диагональ AC делит угол A пополам, то ∠BAC = ∠CAD. Векторы сторон AB = a, AD = d, а диагональ AC = a + d. 2) Условие бисектора угла можно выразить через косинусы: косинус угла между AB и AC равен косинусу угла между AC и AD: cos∠BAC = cos∠CAD. Косинусы даются формулами: cos∠BAC = (a · (a + d)) / (|a| |a + d|) cos∠CAD = ((a + d) · d) / (|d| |a + d|) Так как |a + d| ≠ 0, можно привести к равенству: (a · (a + d)) / |a| = ((a + d) · d) / |d| 3) Раскроем скалярное произведение: (|a|^2 + a · d) / |a| = (a · d + |d|^2) / |d| Умножим на |a||d|: |d|(|a|^2 + a · d) = |a|(|d|^2 + a · d) 4) Приведем выражение к факторизованному виду: |d||a|^2 + |d|(a · d) = |a||d|^2 + |a|(a · d) Перенесем все в одну сторону и вынесем: (|a| − |d|)(|a||d| − a · d) = 0. 5) Из условия параллелограмма: параллелограммы должны быть не вырожденными, поэтому угловой угол между векторами a и d не равен 0, отсюда a and d не параллельны, следовательно a · d < |a||d|. Это исключает вторую часть факторизации, и остаётся только: |a| = |d|. 6) Значит AB = AD. В параллелограмме это значит, что все стороны равны (поскольку BC = AD и CD = AB). И снова получаем ромб. Итак, в обоих случаях: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, или если диагональ делит угол пополам, параллелограмм является ромбом.